物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 72 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.8 s，之后汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 72 km/ht_r = 0.8 sa = −4 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 40 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 25° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 40 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 4 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 4 m/sθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 34 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 22 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆 1500 kg 的汽车以 6 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 110 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1500 kgv = 6 m/sr = 110 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个半径为 120 m 的弯道倾斜 8°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 120 mθ = 8°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 3 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 2 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 12 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 1 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.2 m 的轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 3.5 kgL = 1.2 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 380 N/m 弹簧上的 2.4 kg 物体被沿正方向拉开 6 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.65 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.4 kgk = 380 N/mA = 6 cmt = 0.65 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 40 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 16 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 14 cm 时的动能 K。

k = 40 N/mA = 16 cmx = 14 cm

K = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 10 cm 的薄会聚透镜前 25 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 25 cmf = 10 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 650 nm 的光通过一条宽 0.05 mm 的单缝。求 2 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 650 nma = 0.05 mmL = 2 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 66 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 20·0.8 = 16 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·4) = 50 m

合计

d = 16 + 50 = 66 m

答案

d = 66 m

2.运动学

答案: d = 30.9 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 891.8 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·891.8))/(2·4.905) = 2.51 s

深度

d = ½·9.81·2.51² = 30.9 m

答案

d = 30.9 m

3.牛顿定律

答案: F = 219.2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 165.8 + 53.35 = 219.2 N

答案

F = 219.2 N

4.牛顿定律

答案: d = 1.487 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.3·cos 15°) = 5.382 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·5.382) = 1.487 m

答案

d = 1.487 m

5.抛体运动

答案: t = 4.901 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 45° = 24.04 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 45° = 24.04 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·24.04/9.81 = 4.901 s

答案

t = 4.901 s

6.抛体运动

答案: t = 5.087 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 60° = 11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 60° = 19.05 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 19.05·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.05 + √(363 + 588.6))/9.81 = 5.087 s

答案

t = 5.087 s

7.圆周运动

答案: N = 14224 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9.81 − 1500·6²/110 = 14715 − 490.9 = 14224 N

答案

N = 14224 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_max = 23.27 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(120·9.81·0.4363/0.9485) = 23.27 m/s

答案

v_max = 23.27 m/s

(83.77 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 28.18 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.766 = 37.57 N

F = μN = 0.25·37.57 = 9.394 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 9.394·3 = 28.18 J

答案

W_f = 28.18 J

10.功和能

答案: v = 5.646 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(2 − 0.25·1.5) = 15.94 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.625) = 5.646 m/s

答案

v = 5.646 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 193.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1)·1.534/0.008 = 193.3 m/s

答案

v = 193.3 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 521.3 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 25°) = 0.1124 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1124) = 1.485 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.51·1.485/0.01 = 521.3 m/s

答案

v = 521.3 m/s

13.弹簧与单摆

答案: x = −1.916 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(380/2.4) = 12.58 rad/s

ω·t = 12.58·0.65 = 8.179 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 6·cos(8.179) = −1.916 cm

答案

x = −1.916 cm

14.弹簧与单摆

答案: K = 0.12 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·40·0.16² = 0.512 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·40·0.14² = 0.392 J

动能

K = 0.512 − 0.392 = 0.12 J

答案

K = 0.12 J

15.波、声与光学

答案: d_i = 16.67 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/25

d_i = 16.67 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 16.67 cm

16.波、声与光学

答案: w = 52 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 650 × 10⁻⁹·2/(0.05 × 10⁻³) = 26 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 52 mm

答案

w = 52 mm

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