物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 300 km/h 的速度，可用跑道长 1000 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1000 m

a = m/s²

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.2 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

质量为 8 kg 和 4 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 4 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 4 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 9 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s、与水平方向成 20° 的角度朝 27 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 32 m/sθ = 20°x = 27 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 15 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 15 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 40 km/h 通过半径为 150 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 150 mv = 40 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一辆 4 kg 的小车在无摩擦轨道上从 46 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 10 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 4 kgh = 46 mR = 10 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 15 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 40°μ = 0.25d = 15 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 8.8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 8.8 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 12 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.45 kgv_in = 12 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 180 N/m 弹簧上的 1.6 kg 物体被沿正方向拉开 9 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.15 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 1.6 kgk = 180 N/mA = 9 cmt = 1.15 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

把一个 1.8 kg 的物体挂在一根 k = 120 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 1.8 kgk = 120 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.4 m。声速为 343 m/s。求其第 7 次谐波的频率 f₇。

v = 343 m/sn = 7L = 0.4 m

f₇ = Hz

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 5 m/s 的速度靠近的汽车发射 40 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 3.472 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·1000) = 3.472 m/s²

答案

a = 3.472 m/s²

2.运动学

答案: d = 77.47 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1441))/(2·4.905) = 3.974 s

深度

d = ½·9.81·3.974² = 77.47 m

答案

d = 77.47 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.27 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8 − 4)·9.81/(8 + 4) = 3.27 m/s²

答案

a = 3.27 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 40.29 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 13.42 N

μ·m₁·g·cos θ = 5.531 N

系统的加速度

a = (88.29 − 13.42 − 5.531)/13 = 5.334 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 9·(9.81 − 5.334) = 40.29 N

答案

T = 40.29 N

5.抛体运动

答案: y = 5.873 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 32·cos 20° = 30.07 m/s

t = x/v_x = 27/30.07 = 0.8979 s

此时的高度

y = 10.94·0.8979 − ½·9.81·0.8979² = 5.873 m

答案

y = 5.873 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: α = 68.87 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 15·cos 50° = 9.642 m/s

v_y0 = 15·sin 50° = 11.49 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(11.49² + 2·9.81·25) = 24.95 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 24.95/9.642 → α = 68.87°

答案

α = 68.87°

7.圆周运动

答案: θ = 4.796 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 11.11²/(150·9.81) = 0.0839

θ = 4.796°

答案

θ = 4.796°

8.圆周运动

答案: N_top = 164.8 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(46 − 2·10) = 510.1 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 4·510.1/10 − 39.24 = 164.8 N

答案

N_top = 164.8 N

9.功和能

答案: W_f = 14.09 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.766 = 3.757 N

F = μN = 0.25·3.757 = 0.9394 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.9394·15 = 14.09 J

答案

W_f = 14.09 J

10.功和能

答案: N = 40.02 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8.8 − 5) = 74.56 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·74.56/2.5 − 19.62 = 40.02 N

答案

N = 40.02 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.5556 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·5 = 0.5556 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·5 = 5.556 m/s

答案

v′₁ = 0.5556 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 1215 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(15 + 12) = 12.15 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 12.15/0.01 = 1215 N

答案

F_avg = 1215 N

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.3441 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(180/1.6) = 10.61 rad/s

ω·t = 10.61·1.15 = 12.2 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.09·10.61·sin(12.2) = 0.3441 m/s

答案

v = 0.3441 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.201 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.8·9.81/120 = 0.1472 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(120/1.8) = 8.165 rad/s

v_max = A·ω = 0.1472·8.165 = 1.201 m/s

答案

v_max = 1.201 m/s

15.波、声与光学

答案: f₇ = 1501 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.4/7 = 0.2286 m

频率

f = v/λ = 343/0.2286 = 1501 Hz

答案

f₇ = 1501 Hz

16.波、声与光学

答案: f″ = 41183 Hz

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 + 5)/343 = 40583 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 5) = 41183 Hz

答案

f″ = 41183 Hz

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