物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 250 km/h 的速度，可用跑道长 1700 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1700 m

a = m/s²

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 11 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 11 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 28 m/s 抛出，必须落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 28 m/sR = 45 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 110 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 110 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.4 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.4 kgr = 0.5 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 50 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 50 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 3 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.4）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 4 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgμ = 0.4d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 25 m/s 水平运动的 16 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。12 kg 的碎片以 82 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 16 kgu = 25 m/sm₁ = 12 kgv′₁ = 82 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 9 m/s 撞到墙上，并以 17 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 9 m/sv_out = 17 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 60 N/m 弹簧上的 3.2 kg 物体被沿正方向拉开 15 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.2 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.2 kgk = 60 N/mA = 15 cmt = 0.2 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个 3 kg 的物体连在 k = 170 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3 kgk = 170 N/mA = 3 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的第 7 次谐波必须为 1201 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 7f₇ = 1201 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 40 cm：透镜 1 的 f₁ = 15 cm，透镜 2 的 f₂ = 5 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 15 cmf₂ = 5 cms = 40 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.418 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 250/3.6 = 69.44 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 69.44²/(2·1700) = 1.418 m/s²

答案

a = 1.418 m/s²

2.运动学

答案: s = 366.7 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·8 = 20 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2.5·8² = 80 m

s₂ = 20·11 = 220 m

s₃ = 20²/(2·3) = 66.67 m

总距离

s = 80 + 220 + 66.67 = 366.7 m

答案

s = 366.7 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.812 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

答案

a = 2.812 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 4.709 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 0)/12.5 = 4.709 m/s²

答案

a = 4.709 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 17.13 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·45/28² = 0.5631

相角

2θ = 34.27° → θ = 17.13°

答案

θ = 17.13°

另一个解为 90° − θ = 72.87°。

6.抛体运动

答案: x = 111.5 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 30° = 27.71 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 30° = 16 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 16·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16 + √(256 + 294.3))/9.81 = 4.022 s

水平距离

x = v_x·t = 27.71·4.022 = 111.5 m

答案

x = 111.5 m

7.圆周运动

答案: v_max = 32.85 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·110) = 32.85 m/s

答案

v_max = 32.85 m/s

(118.3 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 23.92 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.4·9.81 + 0.4·5²/0.5 = 3.924 + 20 = 23.92 N

答案

T = 23.92 N

9.功和能

答案: d = 16.39 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13.89²/(2·0.6·9.81) = 16.39 m

答案

d = 16.39 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 4.429 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 39.24·2.5 = 98.1 J

μ·m₁g·d = 0.4·29.43·2.5 = 29.43 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 68.67 → v = √(2·68.67/7) = 4.429 m/s

答案

v = 4.429 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −146 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 16·25 = 400 kg·m/s

碰撞后的动量

400 = 12·82 + 4·v′₂

v′₂ = (400 − 984)/4 = −146 m/s

答案

v′₂ = −146 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: J = 3.9 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(17 + 9) = 3.9 N·s

答案

J = 3.9 N·s

13.弹簧与单摆

答案: x = 9.718 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(60/3.2) = 4.33 rad/s

ω·t = 4.33·0.2 = 0.866 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 15·cos(0.866) = 9.718 cm

答案

x = 9.718 cm

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.2258 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(170/3) = 7.528 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.03·7.528 = 0.2258 m/s

答案

v_max = 0.2258 m/s

15.波、声与光学

答案: L = 0.4998 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/1201 = 0.2856 m

长度

L = nλ/4 = 7·0.2856/4 = 0.4998 m

答案

L = 0.4998 m

16.波、声与光学

答案: d_i2 = 7.273 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/15 − 1/40 → d_i1 = 24 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 40 − 24 = 16 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/5 − 1/16 → d_i2 = 7.273 cm

答案

d_i2 = 7.273 cm

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