物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 80 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 140 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 140 Nθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 90 N 的水平力拉前面 8 kg 的物块；7 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 8 kgF = 90 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s 抛出，必须落在 35 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 32 m/sR = 35 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 45°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 50 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 50 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.9 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 20 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.3d = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 1.5 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 24 m/s 行驶的 1400 kg 汽车撞上一辆静止的 1600 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1400 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 8 m/sv_out = 5 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的 0.6 kg 物体在无摩擦表面上以 13 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 3 cm 时的速度 v。

m = 0.6 kgk = 80 N/mA = 13 cmx = 3 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.8 s，振幅为 11 cm。它从最大位移 11 cm 处运动到位移 5.5 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.8 sA = 11 cmx = 5.5 cm

t = s

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 0.75 m

f₁ = Hz

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 20 cm：透镜 1 的 f₁ = 5 cm，透镜 2 的 f₂ = 5 cm。一个物体位于透镜 1 前 30 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 5 cmf₂ = 5 cms = 20 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.04 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/5.5 = 4.04 s

答案

t = 4.04 s

2.运动学

答案: d = 13.53 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 583.1 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·583.1))/(2·4.905) = 1.661 s

深度

d = ½·9.81·1.661² = 13.53 m

答案

d = 13.53 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.996 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 140·sin 35° = 115.9 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 114.7 − 34.77

a = 79.91/20 = 3.996 m/s²

答案

a = 3.996 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 42 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (90 − 29.43)/15 = 4.038 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(4.038 + 1.962) = 42 N

答案

T = 42 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: θ = 9.795 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·35/32² = 0.3353

相角

2θ = 19.59° → θ = 9.795°

答案

θ = 9.795°

另一个解为 90° − θ = 80.2°。

6.抛体运动

答案: t = 3.733 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 45° = 16.97 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 45° = 16.97 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 16.97·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.97 + √(288 + 98.1))/9.81 = 3.733 s

答案

t = 3.733 s

7.圆周运动

答案: v_max = 15.66 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·50) = 15.66 m/s

答案

v_max = 15.66 m/s (56.38 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.971 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.9) = 2.971 m/s

答案

v_min = 2.971 m/s

9.功和能

答案: v = 12.73 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·20·(0.6428 − 0.3·0.766)) = 12.73 m/s

答案

v = 12.73 m/s

10.功和能

答案: v = 3.836 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.3·2.5) = 7.357 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.75) = 3.836 m/s

答案

v = 3.836 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 215040 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·24/3000 = 11.2 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1400·24² = 403200 J

K_after = ½·3000·11.2² = 188160 J

损失的能量

ΔK = 403200 − 188160 = 215040 J

答案

ΔK = 215040 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 455 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(5 + 8) = 4.55 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 4.55/0.01 = 455 N

答案

F_avg = 455 N

13.弹簧与单摆

答案: v = 1.461 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(80/0.6) = 11.55 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 11.55·√(0.13² − 0.03²) = 1.461 m/s

答案

v = 1.461 m/s

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.4667 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.8 = 2.244 rad/s

求解时间

0.5 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.5) = 1.047 rad

t = 1.047/2.244 = 0.4667 s

答案

t = 0.4667 s

15.波、声与光学

答案: f₁ = 228.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.75/1 = 1.5 m

频率

f = v/λ = 343/1.5 = 228.7 Hz

答案

f₁ = 228.7 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i2 = 7.778 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/5 − 1/30 → d_i1 = 6 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 20 − 6 = 14 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/5 − 1/14 → d_i2 = 7.778 cm

答案

d_i2 = 7.778 cm

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