物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 45 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 20 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 45 mv_0B = 20 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 14 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 14 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 65 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；7 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 6 kgF = 65 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 28 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 18 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 65°h_roof = 18 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.9 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.9 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 1.1 kg 的球系在长 0.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.1 kgr = 0.5 mv_bottom = 10.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 14 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 25°μ = 0.35d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 2.5 mL = 1.5 mμ = 0.1k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 7 m/s 水平运动的 7 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 65 m/s 继续向前运动。求 3 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 7 kgu = 7 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 65 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.55 kgv_in = 16 m/sv_out = 11 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.4 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

把一个 2 kg 的物体挂在一根 k = 90 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 2 kgk = 90 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的基频（一次谐波）必须为 143 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 1f₁ = 143 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 600 nmd = 0.4 mmL = 2 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 16.07 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·7) = 16.07 m

答案

s = 16.07 m

2.运动学

答案: y = 20.17 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

45 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 45/20 = 2.25 s

相遇高度

y = 20·2.25 − ½·9.81·2.25² = 20.17 m

答案

y = 20.17 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.631 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

答案

a = 3.631 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 35 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (65 − 31.88)/13 = 2.547 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(2.547 + 2.453) = 35 N

答案

T = 35 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: x = 84.92 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 70° = 12.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 70° = 33.83 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·33.83/9.81 = 6.897 s

水平距离

x = v_x·t = 12.31·6.897 = 84.92 m

答案

x = 84.92 m

6.抛体运动

答案: x = 51.18 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 11.83 m/s, v_y = 25.38 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

18 = 25.38·t − 4.905·t²

t = (25.38 + √(25.38² − 2·9.81·18))/9.81 = 4.325 s

水平距离

x = v_x·t = 11.83·4.325 = 51.18 m

答案

x = 51.18 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.601 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·2.9)) = 2.601 rad/s

答案

ω = 2.601 rad/s

8.圆周运动

答案: T_top = 188.6 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10.5² − 4·9.81·0.5 = 90.63 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.1·90.63/0.5 − 1.1·9.81 = 188.6 N

答案

T_top = 188.6 N

9.功和能

答案: W_f = 43.57 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.9063 = 8.891 N

F = μN = 0.35·8.891 = 3.112 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.112·14 = 43.57 J

答案

W_f = 43.57 J

10.功和能

答案: x = 13.58 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(2.5 − 0.1·1.5) = 23.05 J

最大压缩量

½kx² = 23.05 → x = √(2·23.05/2500) = 0.1358 m = 13.58 cm

答案

x = 13.58 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −70.33 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 7·7 = 49 kg·m/s

碰撞后的动量

49 = 4·65 + 3·v′₂

v′₂ = (49 − 260)/3 = −70.33 m/s

答案

v′₂ = −70.33 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 297 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(11 + 16) = 14.85 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 14.85/0.05 = 297 N

答案

F_avg = 297 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.431 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.4/2π)² = 1.431 m

答案

L = 1.431 m

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.462 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2·9.81/90 = 0.218 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(90/2) = 6.708 rad/s

v_max = A·ω = 0.218·6.708 = 1.462 m/s

答案

v_max = 1.462 m/s

15.波、声与光学

答案: L = 0.5997 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/143 = 2.399 m

长度

L = nλ/4 = 1·2.399/4 = 0.5997 m

答案

L = 0.5997 m

16.波、声与光学

答案: Δy = 3 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·2/(0.4 × 10⁻³) = 3 mm

答案

Δy = 3 mm

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