物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 1 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 12 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 3 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 4 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 4.5 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 20 m/s 抛出，必须落在 35 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 20 m/sR = 35 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 25 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 25 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.5 kgr = 0.5 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 2° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 300 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 2°F_r = 300 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 4 mL = 2.5 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 0.7 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 30°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 4.5 kgL = 0.7 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 0.8 kg 的物体连在 k = 380 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.8 kgk = 380 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 60 dB 的声级。当 10 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 60 dBn = 10

β = dB

16.波、声与光学困难

一个每毫米 800 条刻线的光栅，在偏离直进方向 46.1° 处出现某条谱线的第 2 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 800 mm⁻¹θ₂ = 46.1°m = 2

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 26.75 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1 = 13.89 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·7.5) = 12.86 m

合计

d = 13.89 + 12.86 = 26.75 m

答案

d = 26.75 m

2.运动学

答案: h_max = 37.34 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9.81) = 7.339 m

离地面的高度

h_max = 30 + 7.339 = 37.34 m

答案

h_max = 37.34 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.856 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答案

a = 4.856 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.885 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 19.62 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (44.15 − 19.62 − 0)/8.5 = 2.885 m/s²

答案

a = 2.885 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 29.57 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·35/20² = 0.8584

相角

2θ = 59.13° → θ = 29.57°

答案

θ = 29.57°

另一个解为 90° − θ = 60.43°。

6.抛体运动

答案: H = 63.69 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 25·sin 50° = 19.15 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 19.15²/(2·9.81) = 18.69 m

离地面的高度

H = 45 + 18.69 = 63.69 m

答案

H = 63.69 m

7.圆周运动

答案: v_max = 31.94 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·130) = 31.94 m/s

答案

v_max = 31.94 m/s (115 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 206.7 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.5·9.81 + 1.5·8²/0.5 = 14.71 + 192 = 206.7 N

答案

T = 206.7 N

9.功和能

答案: P = 12.85 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 2° = 342.4 N

F = 342.4 + 300 = 642.4 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 642.4·20 = 12847 W = 12.85 kW

答案

P = 12.85 kW

10.功和能

答案: v = 8.137 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4 − 0.25·2.5) = 66.22 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.375) = 8.137 m/s

答案

v = 8.137 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6.545 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 1)/(4.5 + 1)·4 = 2.545 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1)·4 = 6.545 m/s

答案

v′₂ = 6.545 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 1222 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 30°) = 0.09378 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.09378) = 1.356 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.505·1.356/0.005 = 1222 m/s

答案

v = 1222 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.006 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1/9.81) = 2.006 s

答案

T = 2.006 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 3.269 m/s

角频率

ω = √(380/0.8) = 21.79 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.15·21.79 = 3.269 m/s

答案

v_max = 3.269 m/s

15.波、声与光学

答案: β = 70 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 10·I₁

难度

β = 60 + 10·log₁₀(10) = 70 dB

答案

β = 70 dB

16.波、声与光学

答案: λ = 450.3 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 1.25 × 10⁻⁶·sin 46.1°/2 = 450.3 nm

答案

λ = 450.3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics