物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 33 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 33 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 9 s，然后匀速行驶 7 s，最后以 4 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 7 sa₃ = −4 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 27 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 27 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 20 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 20 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.8 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.8 kgr = 1.5 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 110 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 110 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 4.5 mL = 2 mμ = 0.2k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 16 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1100 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 22 m/s 向东行驶的 1000 kg 汽车与一辆以 18 m/s 向北行驶的 1800 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1000 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 18 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 3 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 3.8 kg 的物体连在 k = 130 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.8 kgk = 130 N/mA = 10 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

频率为 600 Hz 的声源以 15 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.1 mm 的两条缝。在 3 m 外的屏上，第 4 条亮条纹距中央条纹 75.96 mm。求波长 λ。

d = 0.1 mmL = 3 my₄ = 75.96 mmm = 4

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 396 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/5.5 = 12 s

距离

d = v·t = 33·12 = 396 m

答案

d = 396 m

此时警车的速度为 2v = 66 m/s。

2.运动学

答案: t = 21.63 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·9 = 22.5 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 22.5/4 = 5.625 s

总时间

t = 9 + 7 + 5.625 = 21.63 s

答案

t = 21.63 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.356 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

答案

a = 2.356 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 9.632 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 1.962)/5.5 = 7.67 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·7.67 + 1.962 = 9.632 N

答案

T = 9.632 N

5.抛体运动

答案: H = 5.433 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 35° = 14.74 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 35° = 10.32 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 10.32²/(2·9.81) = 5.433 m

答案

H = 5.433 m

6.抛体运动

答案: H = 33.58 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 27·sin 45° = 19.09 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 19.09²/(2·9.81) = 18.58 m

离地面的高度

H = 15 + 18.58 = 33.58 m

答案

H = 33.58 m

7.圆周运动

答案: v_max = 9.905 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·20) = 9.905 m/s

答案

v_max = 9.905 m/s (35.66 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 68.36 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·6.5²/1.5 = 17.66 + 50.7 = 68.36 N

答案

T = 68.36 N

9.功和能

答案: d = 119 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.4·9.81) = 119 m

答案

d = 119 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 126.8 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(4.5 − 0.2·2) = 402.2 J

最大压缩量

½kx² = 402.2 → x = √(2·402.2/500) = 1.268 m = 126.8 cm

答案

x = 126.8 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 45 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·16/2000 = 8.8 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1100·16² = 140800 J

K_after = ½·2000·8.8² = 77440 J

损失的比例

ΔK/K = 63360/140800 = 45 %

答案

ΔK/K = 45 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: θ = 55.82 °

动量分量

p_x = 1000·22 = 22000 kg·m/s

p_y = 1800·18 = 32400 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 1.473 → θ = 55.82°

答案

θ = 55.82°

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.236 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(3/2π)² = 2.236 m

答案

L = 2.236 m

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.5849 m/s

角频率

ω = √(130/3.8) = 5.849 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.1·5.849 = 0.5849 m/s

答案

v_max = 0.5849 m/s

15.波、声与光学

答案: f′ = 574.9 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 0)/(343 + 15)

f′ = 574.9 Hz

答案

f′ = 574.9 Hz

16.波、声与光学

答案: λ = 633 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.07596·0.0001/(4·3) = 6.33 × 10⁻⁷ m = 633 nm

答案

λ = 633 nm

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