物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)4.615 s30

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −6.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
t (s)v (m/s)5 s

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 5 s，然后匀速行驶 26 s，最后以 4.5 m/s² 制动直到停止。 求总行驶时间 t。

a1 = 1.5 m/s²t1 = 5 st2 = 26 sa3 = −4.5 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 45°a = ?m = 20 kg

一个 20 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 2 kg1 kgμ = 0.1

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 2 kgm2 = 1 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 38 m/s20°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 38 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 45 mv0​ = 15 m/s45°x = ?

一个球 从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 15 m/sθ = 45°h = 45 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
L = 1.6 m60°

一个系在长 1.6 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 60° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。 求小球的速度 v。

L = 1.6 mθ = 60°g = 9.81 m/s²
v = m/s
8.圆周运动困难
R = 7 mh = 26.6 m

一辆 4.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 26.6 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 7 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。 求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 Nbottom。

m = 4.5 kgh = 26.6 mR = 7 mg = 9.81 m/s²
Nbottom = N
9.功和能中等
120 km/h

一辆汽车在水平路面上以 120 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。求制动距离 d。

v = 120 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²
d = m
10.功和能困难
h = 4 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 4000 N/m

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 4 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
5 kg12 m/s1.5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 5 kgm2 = 1.5 kgv1 = 12 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.动量与碰撞困难
12 m/s12 m/s

一个 0.35 kg 的小球以 12 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgvin = 12 m/svout = 12 m/sΔt = 25 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
L = ?

要使单摆的周期为 1.4 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.4 sg = 9.81 m/s²
L = m
14.弹簧与单摆困难
2.5 kgk = 900 N/m150 m/s

一颗以 150 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 900 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 150 m/sM = 2.5 kgk = 900 N/m
A = cm
15.波、声与光学中等
S30 m/sOf = 800 Hz

频率为 800 Hz 的声源以 30 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 800 Hzv = 343 m/svs = 30 m/s
f′ = Hz
16.波、声与光学困难
Fdo​ = 5 cmR = 16 cm

一个物体位于曲率半径为 16 cm 的凹面镜前 5 cm 处。求像距 di，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

do = 5 cmR = 16 cm
di = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 69.23 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·6.5) = 69.23 m

答案

s = 69.23 m
2.运动学

答案: t = 32.67 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a1·t1 = 1.5·5 = 7.5 m/s

制动时间

t3 = v/a3 = 7.5/4.5 = 1.667 s

总时间

t = 5 + 26 + 1.667 = 32.67 s

答案

t = 32.67 s
3.牛顿定律

答案: a = 4.856 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答案

a = 4.856 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 7.194 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (9.81 − 1.962)/3 = 2.616 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 2·2.616 + 1.962 = 7.194 N

答案

T = 7.194 N
5.抛体运动

答案: H = 8.609 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 38·cos 20° = 35.71 m/s
vy = v0·sin θ = 38·sin 20° = 13 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 13²/(2·9.81) = 8.609 m

答案

H = 8.609 m
6.抛体运动

答案: x = 45.58 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 15·cos 45° = 10.61 m/s
vy = v0·sin θ = 15·sin 45° = 10.61 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 10.61·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (10.61 + √(112.5 + 882.9))/9.81 = 4.297 s

水平距离

x = vx·t = 10.61·4.297 = 45.58 m

答案

x = 45.58 m
7.圆周运动

答案: v = 4.852 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.6·sin 60° = 1.386 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.386·9.81·tan 60°) = 4.852 m/s

答案

v = 4.852 m/s
8.圆周运动

答案: Nbottom = 379.6 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·26.6 = 521.9 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 4.5·521.9/7 + 44.15 = 379.6 N

答案

Nbottom = 379.6 N
9.功和能

答案: d = 70.79 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.8·9.81) = 70.79 m

答案

d = 70.79 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 9.526 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.2·1.5) = 18.15 J

最大压缩量

½kx² = 18.15 → x = √(2·18.15/4000) = 0.09526 m = 9.526 cm

答案

x = 9.526 cm
11.动量与碰撞

答案: v′1 = 6.462 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (5 − 1.5)/(5 + 1.5)·12 = 6.462 m/s
v′2 = 2·5/(5 + 1.5)·12 = 18.46 m/s

答案

v′1 = 6.462 m/s
12.动量与碰撞

答案: J = 8.4 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(12 + 12) = 8.4 N·s

答案

J = 8.4 N·s
13.弹簧与单摆

答案: L = 0.487 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.4/2π)² = 0.487 m

答案

L = 0.487 m
14.弹簧与单摆

答案: A = 3.786 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·150/2.512 = 0.7166 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(900/2.512) = 18.93 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.7166/18.93 = 0.03786 m = 3.786 cm

答案

A = 3.786 cm
15.波、声与光学

答案: f′ = 735.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 800·(343 − 0)/(343 + 30)
f′ = 735.7 Hz

答案

f′ = 735.7 Hz
16.波、声与光学

答案: di = −13.33 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 8 cm

镜面方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/8 − 1/5
di = −13.33 cm
F5 cmf = 8 cm

光线图

镜后的虚像

答案

di = −13.33 cm

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