物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 16 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 16 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 15 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 4 st₂ = 15 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

质量为 10 kg 和 6 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s、与水平方向成 70° 的角度朝 17 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 36 m/sθ = 70°x = 17 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个半径为 230 m 的弯道倾斜 10°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 230 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一辆 3 kg 的小车在无摩擦轨道上从 29.9 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 6.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 3 kgh = 29.9 mR = 6.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 11 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.3d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 290 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 8 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 290 Nθ = 35°μ = 0.2d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 14 m/sv_out = 8 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.9 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 1.4 kg 的物体连在 k = 240 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 8 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 1.4 kgk = 240 N/mA = 8 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其第 3 次谐波的频率 f₃。

v = 343 m/sn = 3L = 0.75 m

f₃ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光垂直照射在每毫米 1200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 1200 mm⁻¹λ = 589 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 5.333 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/6 = 5.333 s

答案

t = 5.333 s

此时警车的速度为 2v = 32 m/s。

2.运动学

答案: s = 72 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·4 = 4 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1·4² = 8 m

s₂ = 4·15 = 60 m

s₃ = 4²/(2·2) = 4 m

总距离

s = 8 + 60 + 4 = 72 m

答案

s = 72 m

3.牛顿定律

答案: T = 73.58 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (10 − 6)·9.81/(10 + 6) = 2.453 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 6·(9.81 + 2.453) = 73.58 N

答案

T = 73.58 N

4.牛顿定律

答案: a = 6.348 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 4.905)/8.5 = 6.348 m/s²

答案

a = 6.348 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 37.36 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 36·cos 70° = 12.31 m/s

t = x/v_x = 17/12.31 = 1.381 s

此时的高度

y = 33.83·1.381 − ½·9.81·1.381² = 37.36 m

答案

y = 37.36 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 2.562 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 60° = 5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 60° = 8.66 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 8.66·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.66 + √(75 + 196.2))/9.81 = 2.562 s

答案

t = 2.562 s

7.圆周运动

答案: v = 19.95 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(230·9.81·tan 10°) = 19.95 m/s

答案

v = 19.95 m/s

(71.81 km/h)

8.圆周运动

答案: N_top = 123.6 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(29.9 − 2·6.5) = 331.6 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 3·331.6/6.5 − 29.43 = 123.6 N

答案

N_top = 123.6 N

9.功和能

答案: v = 5.703 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.4226 − 0.3·0.9063)) = 5.703 m/s

答案

v = 5.703 m/s

10.功和能

答案: v = 10.78 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 112.5 N

μ·mg·cos θ = 32.14 N

功–能关系

½mv² = (290 − 144.7)·8 = 1163 J

v = √(2·1163/20) = 10.78 m/s

答案

v = 10.78 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.2857 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 4)/(3 + 4)·2 = −0.2857 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4)·2 = 1.714 m/s

答案

v′₁ = −0.2857 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: J = 3.3 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(8 + 14) = 3.3 N·s

答案

J = 3.3 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.416 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.9/9.81) = 3.416 s

答案

T = 3.416 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 13.71 m/s²

角频率

ω = √(240/1.4) = 13.09 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.08·13.09² = 13.71 m/s²

答案

a_max = 13.71 m/s²

15.波、声与光学

答案: f₃ = 686 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.75/3 = 0.5 m

频率

f = v/λ = 343/0.5 = 686 Hz

答案

f₃ = 686 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 44.98 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·589 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.7068

θ = 44.98°

答案

θ₁ = 44.98°

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