物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 50 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 14 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 10.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 37 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 10.5 m/sd = 37 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5.5 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5.5 m/sθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 20 m/s、与水平方向成 60° 的角度朝 14 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 20 m/sθ = 60°x = 14 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 35 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 35 m/sθ = 25°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一个半径为 270 m 的弯道倾斜 20°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 270 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 12 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.5 kgr = 0.8 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.5 kgk = 500 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 1.5 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 30 m/s 撞到墙上，并以 6 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 30 m/sv_out = 6 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 0.6 kg 的物体连在 k = 480 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.6 kgk = 480 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 1 W 的声功率。求 20 m 处的声强级 β。

P = 1 Wr = 20 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 10 cm：透镜 1 的 f₁ = 5 cm，透镜 2 的 f₂ = 15 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 5 cmf₂ = 15 cms = 10 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.525 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/5.5 = 2.525 s

答案

t = 2.525 s

2.运动学

答案: h_max = 39.99 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

离地面的高度

h_max = 30 + 9.99 = 39.99 m

答案

h_max = 39.99 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1519

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 10.5²/(2·37) = 1.49 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.49/9.81 = 0.1519

答案

μ = 0.1519

4.牛顿定律

答案: d = 2.76 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.15·cos 25°) = 5.48 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5.5²/(2·5.48) = 2.76 m

答案

d = 2.76 m

5.抛体运动

答案: y = 14.63 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 20·cos 60° = 10 m/s

t = x/v_x = 14/10 = 1.4 s

此时的高度

y = 17.32·1.4 − ½·9.81·1.4² = 14.63 m

答案

y = 14.63 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: H = 46.15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 35·sin 25° = 14.79 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 14.79²/(2·9.81) = 11.15 m

离地面的高度

H = 35 + 11.15 = 46.15 m

答案

H = 46.15 m

7.圆周运动

答案: v = 31.05 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(270·9.81·tan 20°) = 31.05 m/s

答案

v = 31.05 m/s

(111.8 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 196.4 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 12² − 4·9.81·0.8 = 112.6 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.5·112.6/0.8 − 1.5·9.81 = 196.4 N

答案

T_top = 196.4 N

9.功和能

答案: h = 0.3262 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·500·0.08² = 1.6 J

高度

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 1.6/4.905 = 0.3262 m

答案

h = 0.3262 m

10.功和能

答案: x = 61.85 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(1.5 − 0.15·3.5) = 95.65 J

最大压缩量

½kx² = 95.65 → x = √(2·95.65/500) = 0.6185 m = 61.85 cm

答案

x = 61.85 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 16.67 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·10 = 6.667 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·10 = 16.67 m/s

答案

v′₂ = 16.67 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 12.6 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(6 + 30) = 12.6 N·s

答案

J = 12.6 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.172 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.5/9.81) = 3.172 s

答案

T = 3.172 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.697 m/s

角频率

ω = √(480/0.6) = 28.28 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.06·28.28 = 1.697 m/s

答案

v_max = 1.697 m/s

15.波、声与光学

答案: β = 82.99 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 0.0001989 W/m²

难度

β = 10·log₁₀(0.0001989/10⁻¹²) = 82.99 dB

答案

β = 82.99 dB

16.波、声与光学

答案: d_i2 = −6 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/5 − 1/40 → d_i1 = 5.714 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 10 − 5.714 = 4.286 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/15 − 1/4.286 → d_i2 = −6 cm

答案

d_i2 = −6 cm

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