物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 50 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 18 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 35 kgθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 3.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 6.5 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 24 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 29 m/sθ = 40°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 150 m 的弯道倾斜 18°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 150 mθ = 18°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 7 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 35°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 2.5 mL = 4 mμ = 0.25k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 24 m/s 行驶的 1400 kg 汽车撞上一辆静止的 1700 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1400 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一辆 1600 kg 的汽车撞上一辆停放的 1000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 17.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1600 kgm₂ = 1000 kgd = 17.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 190 N/m 弹簧上的 1.6 kg 物体在无摩擦表面上以 19 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的速度 v。

m = 1.6 kgk = 190 N/mA = 19 cmx = 1 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.6 kg 的物体连在 k = 490 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 13 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.6 kgk = 490 N/mA = 13 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 10 m 处的声级为 75 dB。忽略吸收和反射，求 80 m 处的声级 β₂。

β₁ = 75 dBr₁ = 10 mr₂ = 80 m

β₂ = dB

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 532 nmd = 0.4 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.525 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/5.5 = 2.525 s

答案

t = 2.525 s

2.运动学

答案: h_max = 46.51 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

离地面的高度

h_max = 30 + 16.51 = 46.51 m

答案

h_max = 46.51 m

3.牛顿定律

答案: F = 138.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 88.87 + 49.75 = 138.6 N

答案

F = 138.6 N

4.牛顿定律

答案: T = 34.78 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 14.51 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.668 N

系统的加速度

a = (63.77 − 14.51 − 4.668)/10 = 4.459 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6.5·(9.81 − 4.459) = 34.78 N

答案

T = 34.78 N

5.抛体运动

答案: H = 24.11 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 65° = 10.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 65° = 21.75 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 21.75²/(2·9.81) = 24.11 m

答案

H = 24.11 m

6.抛体运动

答案: t = 5.75 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 40° = 22.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 40° = 18.64 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 18.64·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.64 + √(347.5 + 1079))/9.81 = 5.75 s

答案

t = 5.75 s

7.圆周运动

答案: v_max = 25.25 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·130) = 25.25 m/s

答案

v_max = 25.25 m/s (90.91 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 30.34 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(150·9.81·0.5468/0.8738) = 30.34 m/s

答案

v_max = 30.34 m/s

(109.2 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 33.75 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.8192 = 16.07 N

F = μN = 0.3·16.07 = 4.822 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.822·7 = 33.75 J

答案

W_f = 33.75 J

10.功和能

答案: x = 54.25 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.25·4) = 73.58 J

最大压缩量

½kx² = 73.58 → x = √(2·73.58/500) = 0.5425 m = 54.25 cm

答案

x = 54.25 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 221110 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·24/3100 = 10.84 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1400·24² = 403200 J

K_after = ½·3100·10.84² = 182090 J

损失的能量

ΔK = 403200 − 182090 = 221110 J

答案

ΔK = 221110 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 23.32 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·17.5) = 14.35 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·14.35/1600 = 23.32 m/s

答案

v₁ = 23.32 m/s

(83.97 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: v = 2.068 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(190/1.6) = 10.9 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10.9·√(0.19² − 0.01²) = 2.068 m/s

答案

v = 2.068 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.517 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(490/3.6) = 11.67 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.13·11.67 = 1.517 m/s

答案

v_max = 1.517 m/s

15.波、声与光学

答案: β₂ = 56.94 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (10/80)² = 0.01563

新的声级

β₂ = 75 + 10·log₁₀(0.01563) = 56.94 dB

答案

β₂ = 56.94 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: Δy = 3.325 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2.5/(0.4 × 10⁻³) = 3.325 mm

答案

Δy = 3.325 mm

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