物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.5 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1300 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 1300 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 19 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 25° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 3.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4.5 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 28 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 18 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 28 m/sθ = 65°x = 18 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 26 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1100 kg 的汽车以 15 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 115 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1100 kgv = 15 m/sr = 115 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 0.6 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 8 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.15d = 8 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 12 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 1 kgh = 12 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 16 m/s 向东行驶的 1600 kg 汽车与一辆以 11 m/s 向北行驶的 1700 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1600 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 11 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 390 N/m 弹簧上的 2 kg 物体被沿正方向拉开 11 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.4 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 2 kgk = 390 N/mA = 11 cmt = 0.4 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一颗以 450 m/s 运动的 20 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 1900 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 20 gv = 450 m/sM = 1 kgk = 1900 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

频率为 500 Hz、速度为 15 m/s 的声源与速度为 20 m/s 的观察者相互远离。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 16 cm 的凹面镜前 25 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 25 cmR = 16 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: v = 95.39 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·1300) = 95.39 m/s

答案

v = 95.39 m/s

(343.4 km/h)

2.运动学

答案: t = 4.546 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.546 s

答案

t = 4.546 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.146 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答案

a = 4.146 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.353 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 19.69 N

μ·m₁·g·cos θ = 5.625 N

系统的加速度

a = (44.15 − 19.69 − 5.625)/8 = 2.353 m/s²

答案

a = 2.353 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 27.25 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 28·cos 65° = 11.83 m/s

t = x/v_x = 18/11.83 = 1.521 s

此时的高度

y = 25.38·1.521 − ½·9.81·1.521² = 27.25 m

答案

y = 27.25 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 67.35 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 30° = 22.52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 30° = 13 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 13·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13 + √(169 + 98.1))/9.81 = 2.991 s

水平距离

x = v_x·t = 22.52·2.991 = 67.35 m

答案

x = 67.35 m

7.圆周运动

答案: N = 8639 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1100·9.81 − 1100·15²/115 = 10791 − 2152 = 8639 N

答案

N = 8639 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 39.07 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·8.5²/0.6 = 2.943 + 36.13 = 39.07 N

答案

T = 39.07 N

9.功和能

答案: W_f = 90.18 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.15·75.15 = 11.27 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 11.27·8 = 90.18 J

答案

W_f = 90.18 J

10.功和能

答案: v = 8.859 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(12 − 8) = 78.48 m²/s²

v = 8.859 m/s

答案

v = 8.859 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.091 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 2)/(3.5 + 2)·4 = 1.091 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2)·4 = 5.091 m/s

答案

v′₁ = 1.091 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 36.15 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1600·16 = 25600 kg·m/s

p_y = 1700·11 = 18700 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.7305 → θ = 36.15°

答案

θ = 36.15°

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.9866 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(390/2) = 13.96 rad/s

ω·t = 13.96·0.4 = 5.586 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.11·13.96·sin(5.586) = 0.9866 m/s

答案

v = 0.9866 m/s

14.弹簧与单摆

答案: A = 20.44 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.02·450/1.02 = 8.824 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1900/1.02) = 43.16 rad/s

振幅

A = V/ω = 8.824/43.16 = 0.2044 m = 20.44 cm

答案

A = 20.44 cm

15.波、声与光学

答案: f′ = 451.1 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 20)/(343 + 15)

f′ = 451.1 Hz

答案

f′ = 451.1 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i = 11.76 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 8 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/25

d_i = 11.76 cm

光线图

镜前的实像

答案

d_i = 11.76 cm

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