物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 36 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 8 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5.5 m/sθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 31 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 31 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 20 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 20 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.9 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.9 kgr = 1 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 80 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 80 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 0.5 m 的轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 3.5 kgL = 0.5 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 310 N/m 弹簧上的 0.2 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.5 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.2 kgk = 310 N/mA = 3 cmt = 1.5 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 0.7 s，振幅为 16 cm。它从平衡位置运动到位移 11.2 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 0.7 sA = 16 cmx = 11.2 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 8 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 8 cmf = 5 cm

m =

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.62，包层 n₂ = 1.54。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.62n₂ = 1.54

NA =

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/4 = 2.5 s

答案

t = 2.5 s

2.运动学

答案: h_max = 28.26 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9.81) = 3.262 m

离地面的高度

h_max = 25 + 3.262 = 28.26 m

答案

h_max = 28.26 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.631 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

答案

a = 3.631 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 2.29 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.2·cos 30°) = 6.604 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5.5²/(2·6.604) = 2.29 m

答案

d = 2.29 m

5.抛体运动

答案: t = 2.307 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 45° = 11.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 45° = 11.31 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·11.31/9.81 = 2.307 s

答案

t = 2.307 s

6.抛体运动

答案: H = 33.74 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 31·sin 50° = 23.75 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 23.75²/(2·9.81) = 28.74 m

离地面的高度

H = 5 + 28.74 = 33.74 m

答案

H = 33.74 m

7.圆周运动

答案: v_max = 10.85 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·20) = 10.85 m/s

答案

v_max = 10.85 m/s (39.06 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 36.05 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.9·9.81 + 0.9·5.5²/1 = 8.829 + 27.23 = 36.05 N

答案

T = 36.05 N

9.功和能

答案: d = 41.95 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.6·9.81) = 41.95 m

答案

d = 41.95 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 6.644 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.25·3) = 55.18 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.25) = 6.644 m/s

答案

v = 6.644 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 8.571 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 2)/(1.5 + 2)·10 = −1.429 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2)·10 = 8.571 m/s

答案

v′₂ = 8.571 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 420.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.5·(1 − cos 25°) = 0.04685 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.04685) = 0.9587 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.508·0.9587/0.008 = 420.4 m/s

答案

v = 420.4 m/s

13.弹簧与单摆

答案: x = −2.415 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(310/0.2) = 39.37 rad/s

ω·t = 39.37·1.5 = 59.06 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(59.06) = −2.415 cm

答案

x = −2.415 cm

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.08639 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/0.7 = 8.976 rad/s

求解时间

0.7 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.7) = 0.7754 rad

t = 0.7754/8.976 = 0.08639 s

答案

t = 0.08639 s

15.波、声与光学

答案: m = −1.667

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/8

d_i = 13.33 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −13.33/8 = −1.667

答案

m = −1.667

16.波、声与光学

答案: NA = 0.5028

包层处的临界角

sin θc = 1.54/1.62 = 0.9506 → θc = 71.92°

数值孔径

NA = √(1.62² − 1.54²) = 0.5028

答案

NA = 0.5028

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