物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 30 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 24 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 30 mv_0B = 24 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 7.5 kg 和 5.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 5.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 30° 的角度抛出，落在 105 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 30°R = 105 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 1.3 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 15° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1.3 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的球系在长 1.4 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 9.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.3 kgr = 1.4 mv_bottom = 9.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的球挂在长 2 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 70°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 2 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 8.8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 8.8 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一个以 15 m/s 水平运动的 7 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 20 m/s 继续向前运动。求 3 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 7 kgu = 15 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 20 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 15 m/s 向东行驶的 1900 kg 汽车与一辆以 14 m/s 向北行驶的 1500 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1900 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 14 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 240 N/m 弹簧上的 1.6 kg 物体被沿正方向拉开 8 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.25 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1.6 kgk = 240 N/mA = 8 cmt = 1.25 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个 1.5 kg 的物体连在 k = 330 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.5 kgk = 330 N/mA = 10 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的第 7 次谐波必须为 1501 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 7f₇ = 1501 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 532 nmd = 0.4 mmL = 1.5 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 13.02 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·6) = 13.02 m

答案

s = 13.02 m

2.运动学

答案: t = 1.25 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

30 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 30/24 = 1.25 s

答案

t = 1.25 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.509 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7.5 − 5.5)·9.81/(7.5 + 5.5) = 1.509 m/s²

答案

a = 1.509 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 16.6 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 2.453)/6.5 = 5.66 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·5.66 + 2.453 = 16.6 N

答案

T = 16.6 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 34.49 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·105/sin 60°) = 34.49 m/s

答案

v₀ = 34.49 m/s

6.抛体运动

答案: t = 4.389 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 45° = 16.97 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 45° = 16.97 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 16.97·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.97 + √(288 + 392.4))/9.81 = 4.389 s

答案

t = 4.389 s

7.圆周运动

答案: v = 0.9404 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.3·sin 15° = 0.3365 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.3365·9.81·tan 15°) = 0.9404 m/s

答案

v = 0.9404 m/s

8.圆周运动

答案: T_top = 4.624 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 9.5² − 4·9.81·1.4 = 35.31 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.3·35.31/1.4 − 0.3·9.81 = 4.624 N

答案

T_top = 4.624 N

9.功和能

答案: T = 45.44 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 70°) = 25.82 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·25.82/2 = 45.44 N

答案

T = 45.44 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 45.44 N。

10.功和能

答案: N = 40.02 N

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8.8 − 5) = 74.56 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·74.56/2.5 − 19.62 = 40.02 N

答案

N = 40.02 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 8.333 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 7·15 = 105 kg·m/s

碰撞后的动量

105 = 4·20 + 3·v′₂

v′₂ = (105 − 80)/3 = 8.333 m/s

答案

v′₂ = 8.333 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 36.38 °

动量分量

p_x = 1900·15 = 28500 kg·m/s

p_y = 1500·14 = 21000 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.7368 → θ = 36.38°

答案

θ = 36.38°

13.弹簧与单摆

答案: x = −7.373 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(240/1.6) = 12.25 rad/s

ω·t = 12.25·1.25 = 15.31 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(15.31) = −7.373 cm

答案

x = −7.373 cm

14.弹簧与单摆

答案: E = 1.65 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(330/1.5) = 14.83 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·330·0.1² = 1.65 J

答案

E = 1.65 J

15.波、声与光学

答案: L = 0.3999 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/1501 = 0.2285 m

长度

L = nλ/4 = 7·0.2285/4 = 0.3999 m

答案

L = 0.3999 m

16.波、声与光学

答案: y₂ = 3.99 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·1.5/(0.4 × 10⁻³) = 1.995 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·1.995 = 3.99 mm

答案

y₂ = 3.99 mm

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