物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 17 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 2.5 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3.5 m/sd = 2.5 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 1 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 26 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 105 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.9 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 30°μ = 0.35d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 110 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.25。求物块沿斜坡向上移动 3 m 后的速度 v。

m = 10 kgF = 110 Nθ = 35°μ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 29 m/s 水平运动的 6 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 59 m/s 继续向前运动。求 5 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 6 kgu = 29 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 59 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgv_in = 23 m/sv_out = 11 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 320 N/m 弹簧上的 0.6 kg 物体在无摩擦表面上以 9 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 2 cm 时的速度 v。

m = 0.6 kgk = 320 N/mA = 9 cmx = 2 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一颗以 250 m/s 运动的 10 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 500 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 10 gv = 250 m/sM = 3.5 kgk = 500 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.6 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 0.6 m

f₅ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 656 nm 的光垂直照射在每毫米 400 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 400 mm⁻¹λ = 656 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 101 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·5.5) = 101 m

答案

s = 101 m

2.运动学

答案: t = 4.394 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·20))/9.81 = 4.394 s

答案

t = 4.394 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2497

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 3.5²/(2·2.5) = 2.45 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.45/9.81 = 0.2497

答案

μ = 0.2497

4.牛顿定律

答案: a = 6.826 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 4.905 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.699 N

系统的加速度

a = (44.15 − 4.905 − 1.699)/5.5 = 6.826 m/s²

答案

a = 6.826 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 23.12 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 55° = 14.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 55° = 21.3 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 21.3²/(2·9.81) = 23.12 m

答案

H = 23.12 m

6.抛体运动

答案: x = 158.7 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 50° = 22.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 50° = 26.81 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 26.81·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (26.81 + √(718.9 + 1079))/9.81 = 7.055 s

水平距离

x = v_x·t = 22.5·7.055 = 158.7 m

答案

x = 158.7 m

7.圆周运动

答案: v_max = 26.85 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·105) = 26.85 m/s

答案

v_max = 26.85 m/s (96.67 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.971 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.9) = 2.971 m/s

答案

v_min = 2.971 m/s

9.功和能

答案: W_f = 297.3 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.866 = 84.96 N

F = μN = 0.35·84.96 = 29.73 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 29.73·10 = 297.3 J

答案

W_f = 297.3 J

10.功和能

答案: v = 4.493 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 56.27 N

μ·mg·cos θ = 20.09 N

功–能关系

½mv² = (110 − 76.36)·3 = 100.9 J

v = √(2·100.9/10) = 4.493 m/s

答案

v = 4.493 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 23 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 6·29 = 174 kg·m/s

碰撞后的动量

174 = 1·59 + 5·v′₂

v′₂ = (174 − 59)/5 = 23 m/s

答案

v′₂ = 23 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 20.4 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(11 + 23) = 20.4 N·s

答案

J = 20.4 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 2.026 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(320/0.6) = 23.09 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 23.09·√(0.09² − 0.02²) = 2.026 m/s

答案

v = 2.026 m/s

14.弹簧与单摆

答案: A = 5.968 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.01·250/3.51 = 0.7123 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(500/3.51) = 11.94 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.7123/11.94 = 0.05968 m = 5.968 cm

答案

A = 5.968 cm

15.波、声与光学

答案: f₅ = 714.6 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.6/5 = 0.48 m

频率

f = v/λ = 343/0.48 = 714.6 Hz

答案

f₅ = 714.6 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 15.21 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/400 mm = 2.5 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·656 × 10⁻⁹/(2.5 × 10⁻⁶) = 0.2624

θ = 15.21°

答案

θ₁ = 15.21°

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