物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 10 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 10 sa₃ = −3.5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 10.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 19 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 10.5 m/sd = 19 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 4.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 4.5 m/sθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 30 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 50 m 的弯道倾斜 5°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 50 mθ = 5°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一辆 2 kg 的小车在无摩擦轨道上从 12.3 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 3 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 2 kgh = 12.3 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 120 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。求制动距离 d。

v = 120 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 35 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 5 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 35 Nθ = 35°μ = 0.3d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 14 m/s 向东行驶的 800 kg 汽车与一辆以 12 m/s 向北行驶的 900 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 800 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 12 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 270 N/m 弹簧上的 1.9 kg 物体在无摩擦表面上以 18 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 12 cm 时的速度 v。

m = 1.9 kgk = 270 N/mA = 18 cmx = 12 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 0.7 kg 的物体连在 k = 240 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.7 kgk = 240 N/mA = 14 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

两端固定的弦长 1.5 m；波在其上以 80 m/s 传播。求其第 4 次谐波的频率 f₄。

v = 80 m/sn = 4L = 1.5 m

f₄ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光通过一条宽 0.1 mm 的单缝。求第 1 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₁。

λ = 500 nma = 0.1 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 10.42 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·7.5) = 10.42 m

答案

s = 10.42 m

2.运动学

答案: t = 15.71 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·4 = 6 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 6/3.5 = 1.714 s

总时间

t = 4 + 10 + 1.714 = 15.71 s

答案

t = 15.71 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2958

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 10.5²/(2·19) = 2.901 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.901/9.81 = 0.2958

答案

μ = 0.2958

4.牛顿定律

答案: d = 1.358 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.3·cos 30°) = 7.454 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·7.454) = 1.358 m

答案

d = 1.358 m

5.抛体运动

答案: t = 5.01 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 55° = 17.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 55° = 24.57 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·24.57/9.81 = 5.01 s

答案

t = 5.01 s

6.抛体运动

答案: x = 82.18 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 25° = 19.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 25° = 9.298 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 9.298·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.298 + √(86.45 + 882.9))/9.81 = 4.121 s

水平距离

x = v_x·t = 19.94·4.121 = 82.18 m

答案

x = 82.18 m

7.圆周运动

答案: v = 6.551 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(50·9.81·tan 5°) = 6.551 m/s

答案

v = 6.551 m/s

(23.58 km/h)

8.圆周运动

答案: N_top = 62.78 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(12.3 − 2·3) = 123.6 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 2·123.6/3 − 19.62 = 62.78 N

答案

N_top = 62.78 N

9.功和能

答案: d = 70.79 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.8·9.81) = 70.79 m

答案

d = 70.79 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 9.728 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 11.25 N

μ·mg·cos θ = 4.822 N

功–能关系

½mv² = (35 − 16.08)·5 = 94.62 J

v = √(2·94.62/2) = 9.728 m/s

答案

v = 9.728 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 4)/(2 + 4)·11 = −3.667 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4)·11 = 7.333 m/s

答案

v′₁ = −3.667 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 9.152 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 800·14 = 11200 kg·m/s

p_y = 900·12 = 10800 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 15559/1700 = 9.152 m/s

答案

v′ = 9.152 m/s

13.弹簧与单摆

答案: v = 1.599 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(270/1.9) = 11.92 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 11.92·√(0.18² − 0.12²) = 1.599 m/s

答案

v = 1.599 m/s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 48 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(240/0.7) = 18.52 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.14·18.52² = 48 m/s²

答案

a_max = 48 m/s²

15.波、声与光学

答案: f₄ = 106.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1.5/4 = 0.75 m

频率

f = v/λ = 80/0.75 = 106.7 Hz

答案

f₄ = 106.7 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 0.2865 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.005

θ = 0.2865°

答案

θ₁ = 0.2865°

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