物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 108 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 108 km/ht_r = 1 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 8 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 1 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 6.5 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s 抛出，必须落在 115 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 36 m/sR = 115 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 12 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 12 m/sθ = 20°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆 800 kg 的汽车以 6 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 60 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 800 kgv = 6 m/sr = 60 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 0.9 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.9 kgr = 0.5 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 4 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 15°μ = 0.1d = 4 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 5 mL = 3 mμ = 0.3k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 14 m/s 水平运动的 13 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。8 kg 的碎片以 50 m/s 继续向前运动。求 5 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 13 kgu = 14 m/sm₁ = 8 kgv′₁ = 50 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 2 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 4.5 kgL = 2 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.2 s，振幅为 4 cm。它从平衡位置运动到位移 1 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.2 sA = 4 cmx = 1 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 10 cm 的薄会聚透镜前 6 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 6 cmf = 10 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

静止的传感器向以 30 m/s 的速度靠近的汽车发射 40 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 90 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 30·1 = 30 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·7.5) = 60 m

合计

d = 30 + 60 = 90 m

答案

d = 90 m

2.运动学

答案: t = 2.113 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.113 s

答案

t = 2.113 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.421 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.15·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1229) = 4.421 m/s²

答案

a = 4.421 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 13.86 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 4.905 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.274 N

系统的加速度

a = (63.77 − 4.905 − 1.274)/7.5 = 7.678 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6.5·(9.81 − 7.678) = 13.86 N

答案

T = 13.86 N

5.抛体运动

答案: θ = 30.26 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·115/36² = 0.8705

相角

2θ = 60.52° → θ = 30.26°

答案

θ = 30.26°

另一个解为 90° − θ = 59.74°。

6.抛体运动

答案: H = 15.86 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 12·sin 20° = 4.104 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 4.104²/(2·9.81) = 0.8586 m

离地面的高度

H = 15 + 0.8586 = 15.86 m

答案

H = 15.86 m

7.圆周运动

答案: N = 7368 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9.81 − 800·6²/60 = 7848 − 480 = 7368 N

答案

N = 7368 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 84.88 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.9·9.81 + 0.9·6.5²/0.5 = 8.829 + 76.05 = 84.88 N

答案

T = 84.88 N

9.功和能

答案: W_f = 3.79 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.9659 = 9.476 N

F = μN = 0.1·9.476 = 0.9476 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.9476·4 = 3.79 J

答案

W_f = 3.79 J

10.功和能

答案: x = 63.42 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(5 − 0.3·3) = 100.6 J

最大压缩量

½kx² = 100.6 → x = √(2·100.6/500) = 0.6342 m = 63.42 cm

答案

x = 63.42 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −43.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 13·14 = 182 kg·m/s

碰撞后的动量

182 = 8·50 + 5·v′₂

v′₂ = (182 − 400)/5 = −43.6 m/s

答案

v′₂ = −43.6 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v = 463 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 20°) = 0.1206 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1206) = 1.538 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.515·1.538/0.015 = 463 m/s

答案

v = 463 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.198 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.2/9.81) = 2.198 s

答案

T = 2.198 s

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.04826 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.2 = 5.236 rad/s

求解时间

0.25 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.25) = 0.2527 rad

t = 0.2527/5.236 = 0.04826 s

答案

t = 0.04826 s

15.波、声与光学

答案: d_i = −15 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/6

d_i = −15 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −15 cm

16.波、声与光学

答案: f_b = 7668 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 + 30)/343 = 43499 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 30) = 47668 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 7668 Hz

答案

f_b = 7668 Hz

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