物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 40 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 23 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 40 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 1 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1 kgm₂ = 7 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 30 m/s 抛出，必须落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 30 m/sR = 45 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 0.7 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 45° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 0.7 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一辆 1.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 23.8 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 8.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 1.5 kgh = 23.8 mR = 8.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 18 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.4d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 22.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 22.5 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一个以 22 m/s 水平运动的 10 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 78 m/s 继续向前运动。求 9 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 10 kgu = 22 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 78 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 23 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1800 kgm₂ = 1800 kgd = 23 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 4 kg 的物体连在 k = 220 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 4 kgk = 220 N/mA = 10 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 12 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 12 cmf = 8 cm

m =

16.波、声与光学困难

一个衍射光栅每毫米有 500 条刻线。波长为 633 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 m_max？

N = 500 mm⁻¹λ = 633 nm

m_max =

3溶液

1.运动学

答案: t = 10 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/3 = 10 s

答案

t = 10 s

2.运动学

答案: y = 25.16 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

40 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 40/23 = 1.739 s

相遇高度

y = 23·1.739 − ½·9.81·1.739² = 25.16 m

答案

y = 25.16 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.368 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答案

a = 2.368 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 8.066 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 68.67 N

m₁·g·sin θ = 4.146 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (68.67 − 4.146 − 0)/8 = 8.066 m/s²

答案

a = 8.066 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 14.69 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·45/30² = 0.4905

相角

2θ = 29.37° → θ = 14.69°

答案

θ = 14.69°

另一个解为 90° − θ = 75.31°。

6.抛体运动

答案: t = 4.254 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 40° = 12.26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 40° = 10.28 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 10.28·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.28 + √(105.8 + 882.9))/9.81 = 4.254 s

答案

t = 4.254 s

7.圆周运动

答案: T = 1.411 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.7·sin 45° = 0.495 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.495·9.81·tan 45°) = 2.204 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.495/2.204 = 1.411 s

答案

T = 1.411 s

8.圆周运动

答案: N_top = 8.829 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(23.8 − 2·8.5) = 133.4 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 1.5·133.4/8.5 − 14.71 = 8.829 N

答案

N_top = 8.829 N

9.功和能

答案: v = 9.319 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.5736 − 0.4·0.8192)) = 9.319 m/s

答案

v = 9.319 m/s

10.功和能

答案: N = 78.48 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(22.5 − 10) = 245.3 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·245.3/5 − 19.62 = 78.48 N

答案

N = 78.48 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 15.78 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 10·22 = 220 kg·m/s

碰撞后的动量

220 = 1·78 + 9·v′₂

v′₂ = (220 − 78)/9 = 15.78 m/s

答案

v′₂ = 15.78 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 32.91 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·23) = 16.45 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·16.45/1800 = 32.91 m/s

答案

v₁ = 32.91 m/s

(118.5 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.837 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2/9.81) = 2.837 s

答案

T = 2.837 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.7416 m/s

角频率

ω = √(220/4) = 7.416 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.1·7.416 = 0.7416 m/s

答案

v_max = 0.7416 m/s

15.波、声与光学

答案: m = −2

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/12

d_i = 24 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −24/12 = −2

答案

m = −2

16.波、声与光学

答案: m_max = 3

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/500 mm = 2 µm

最高级次

m ≤ d/λ = 2 µm/0.633 µm = 3.16 → m_max = 3

答案

m_max = 3

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