物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.5 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1700 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 1700 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 20 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 20 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 25 kgθ = 15°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s 抛出，必须落在 60 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 26 m/sR = 60 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 25 m/sθ = 25°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.4 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 3.4 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个 0.8 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.8 kgr = 0.9 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 1500 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 650 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1500 kgθ = 4°F_r = 650 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1500 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 16 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1800 kgm₂ = 1500 kgd = 16 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 320 N/m 弹簧上的 2.1 kg 物体在无摩擦表面上以 7 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的速度 v。

m = 2.1 kgk = 320 N/mA = 7 cmx = 1 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 1.9 kg 的物体连在 k = 180 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.9 kgk = 180 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个高 1 cm 的物体位于焦距为 30 cm 的薄发散透镜前 6 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 1 cmd_o = 6 cmf = −30 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.48，包层 n₂ = 1.38。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θ_a。

n₁ = 1.48n₂ = 1.38n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.运动学

答案: v = 109.1 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·1700) = 109.1 m/s

答案

v = 109.1 m/s

(392.7 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 35.39 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9.81) = 20.39 m

离地面的高度

h_max = 15 + 20.39 = 35.39 m

答案

h_max = 35.39 m

3.牛顿定律

答案: F = 158.2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 63.48 + 94.76 = 158.2 N

答案

F = 158.2 N

4.牛顿定律

答案: a = 3.711 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 6.377)/11.5 = 3.711 m/s²

答案

a = 3.711 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 30.27 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·60/26² = 0.8707

相角

2θ = 60.54° → θ = 30.27°

答案

θ = 30.27°

另一个解为 90° − θ = 59.73°。

6.抛体运动

答案: t = 3.131 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 25° = 22.66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 25° = 10.57 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 10.57·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.57 + √(111.6 + 294.3))/9.81 = 3.131 s

答案

t = 3.131 s

7.圆周运动

答案: n = 29.61 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·3.4)) = 3.101 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 29.61 rpm

答案

n = 29.61 rpm

8.圆周运动

答案: T = 45.4 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.8·9.81 + 0.8·6.5²/0.9 = 7.848 + 37.56 = 45.4 N

答案

T = 45.4 N

9.功和能

答案: P = 41.91 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 4° = 1026 N

F = 1026 + 650 = 1676 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1676·25 = 41912 W = 41.91 kW

答案

P = 41.91 kW

10.功和能

答案: v = 8.287 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(5 − 0.3·5) = 34.34 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

答案

v = 8.287 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3.182 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 4)/(1.5 + 4)·7 = −3.182 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4)·7 = 3.818 m/s

答案

v′₁ = −3.182 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 22.97 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·16) = 12.53 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3300·12.53/1800 = 22.97 m/s

答案

v₁ = 22.97 m/s

(82.69 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.8552 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(320/2.1) = 12.34 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 12.34·√(0.07² − 0.01²) = 0.8552 m/s

答案

v = 0.8552 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.557 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(180/1.9) = 9.733 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.16·9.733 = 1.557 m/s

答案

v_max = 1.557 m/s

15.波、声与光学

答案: h_i = 0.8333 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/6

d_i = −5 cm

放大率与像高

m = −(−5)/6 = 0.8333

h_i = 0.8333·1 = 0.8333 cm

答案

h_i = 0.8333 cm

16.波、声与光学

答案: θ_a = 32.33 °

包层处的临界角

sin θc = 1.38/1.48 = 0.9324 → θc = 68.82°

数值孔径

NA = √(1.48² − 1.38²) = 0.5348

接收角

θ_a = arcsin(0.5348) = 32.33°

答案

θ_a = 32.33°

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