物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 35 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 35 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 13 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 4.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 4 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 37 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 17 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 37 m/sθ = 40°h_roof = 17 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 150 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 150 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 210 m 的弯道倾斜 8°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 210 mθ = 8°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的球挂在长 0.8 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 0.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 6 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0.1d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 14 m/s 行驶的 800 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 800 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一辆 1000 kg 的汽车撞上一辆停放的 2000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 9 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1000 kgm₂ = 2000 kgd = 9 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.42 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.1 mT = 3.42 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一颗以 350 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 900 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 350 m/sM = 1 kgk = 900 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

光在金刚石（n = 2.42）中向与火石玻璃（n = 1.62）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 2.42n₂ = 1.62

θ_c = °

16.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 633 nmd = 0.5 mmL = 3 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 17.5 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·35/4 = 17.5 s

答案

t = 17.5 s

此时警车的速度为 2v = 70 m/s。

2.运动学

答案: t = 3.519 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.519 s

答案

t = 3.519 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.421 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.15·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1229) = 4.421 m/s²

答案

a = 4.421 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 31.44 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 39.24 N

m₁·g·sin θ = 18.66 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.001 N

系统的加速度

a = (39.24 − 18.66 − 4.001)/8.5 = 1.951 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4·(9.81 − 1.951) = 31.44 N

答案

T = 31.44 N

5.抛体运动

答案: t = 4.435 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 65° = 10.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 65° = 21.75 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·21.75/9.81 = 4.435 s

答案

t = 4.435 s

6.抛体运动

答案: x = 112.7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 28.34 m/s, v_y = 23.78 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

17 = 23.78·t − 4.905·t²

t = (23.78 + √(23.78² − 2·9.81·17))/9.81 = 3.977 s

水平距离

x = v_x·t = 28.34·3.977 = 112.7 m

答案

x = 112.7 m

7.圆周运动

答案: v_max = 29.71 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·150) = 29.71 m/s

答案

v_max = 29.71 m/s (107 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 26.87 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(210·9.81·0.3372/0.9624) = 26.87 m/s

答案

v_max = 26.87 m/s

(96.72 km/h)

9.功和能

答案: T = 5.497 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 20°) = 0.9466 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·0.9466/0.8 = 5.497 N

答案

T = 5.497 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 5.497 N。

10.功和能

答案: v = 5.241 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 58.86·2.5 = 147.2 J

μ·m₁g·d = 0.1·39.24·2.5 = 9.81 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 137.3 → v = √(2·137.3/10) = 5.241 m/s

答案

v = 5.241 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 48533 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·14/2100 = 5.333 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·800·14² = 78400 J

K_after = ½·2100·5.333² = 29867 J

损失的能量

ΔK = 78400 − 29867 = 48533 J

答案

ΔK = 48533 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 33.35 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·9) = 11.12 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·11.12/1000 = 33.35 m/s

答案

v₁ = 33.35 m/s

(120.1 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: g = 3.713 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.1/3.42² = 3.713 m/s²

答案

g = 3.713 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: A = 13.92 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·350/1.012 = 4.15 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(900/1.012) = 29.82 rad/s

振幅

A = V/ω = 4.15/29.82 = 0.1392 m = 13.92 cm

答案

A = 13.92 cm

15.波、声与光学

答案: θ_c = 42.02 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.62/2.42 = 0.6694

临界角

θc = arcsin(0.6694) = 42.02°

答案

θ_c = 42.02°

16.波、声与光学

答案: Δy = 3.798 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·3/(0.5 × 10⁻³) = 3.798 mm

答案

Δy = 3.798 mm

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