物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 9 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 2 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 2 m/sd = 1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 20 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 19 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 3 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个半径为 240 m 的弯道倾斜 25°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 240 mθ = 25°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 11 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.1d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 7 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 10 kgh = 7 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 12 m/s 水平运动的 5 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 34 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 5 kgu = 12 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 34 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1000 kg 的汽车撞上一辆停放的 2000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 16 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1000 kgm₂ = 2000 kgd = 16 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 230 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体被沿正方向拉开 7 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.3 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.6 kgk = 230 N/mA = 7 cmt = 1.3 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个 1.5 kg 的物体连在 k = 420 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.5 kgk = 420 N/mA = 3 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄会聚透镜前 4 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 4 cmf = 25 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 650 nm 的光照射到相距 0.2 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求从中央亮条纹到第 1 条亮条纹的距离 y₁。

λ = 650 nmd = 0.2 mmL = 2.5 mm = 1

y₁ = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 81.82 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·5.5) = 81.82 m

答案

s = 81.82 m

2.运动学

答案: t = 3.742 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.742 s

答案

t = 3.742 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2039

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 2²/(2·1) = 2 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2/9.81 = 0.2039

答案

μ = 0.2039

4.牛顿定律

答案: T = 7.708 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 0.981)/3.5 = 6.727 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·6.727 + 0.981 = 7.708 N

答案

T = 7.708 N

5.抛体运动

答案: x = 40.77 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 45° = 14.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 45° = 14.14 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·14.14/9.81 = 2.883 s

水平距离

x = v_x·t = 14.14·2.883 = 40.77 m

答案

x = 40.77 m

6.抛体运动

答案: x = 51.18 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 45° = 13.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 45° = 13.44 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 13.44·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.44 + √(180.5 + 392.4))/9.81 = 3.809 s

水平距离

x = v_x·t = 13.44·3.809 = 51.18 m

答案

x = 51.18 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.335 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·3)) = 2.335 rad/s

答案

ω = 2.335 rad/s

8.圆周运动

答案: v_max = 50.07 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(240·9.81·0.7851/0.7373) = 50.07 m/s

答案

v_max = 50.07 m/s

(180.3 km/h)

9.功和能

答案: v = 11.72 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.7071 − 0.1·0.7071)) = 11.72 m/s

答案

v = 11.72 m/s

10.功和能

答案: v = 6.264 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7 − 5) = 39.24 m²/s²

v = 6.264 m/s

答案

v = 6.264 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −21 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 5·12 = 60 kg·m/s

碰撞后的动量

60 = 3·34 + 2·v′₂

v′₂ = (60 − 102)/2 = −21 m/s

答案

v′₂ = −21 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 41.17 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·16) = 13.72 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·13.72/1000 = 41.17 m/s

答案

v₁ = 41.17 m/s

(148.2 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: x = 6.601 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(230/2.6) = 9.405 rad/s

ω·t = 9.405·1.3 = 12.23 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(12.23) = 6.601 cm

答案

x = 6.601 cm

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.189 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(420/1.5) = 16.73 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·420·0.03² = 0.189 J

答案

E = 0.189 J

15.波、声与光学

答案: d_i = −4.762 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/4

d_i = −4.762 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −4.762 cm

16.波、声与光学

答案: y₁ = 8.125 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·2.5/(0.2 × 10⁻³) = 8.125 mm

第 1 条条纹

y₁ = 1·8.125 = 8.125 mm

答案

y₁ = 8.125 mm

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