物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 29 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 29 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.5 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 0.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 40 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 26 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 40 km/h 通过半径为 50 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 50 mv = 40 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个半径为 280 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 280 mθ = 20°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 14 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 35°μ = 0.2d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2 mL = 5 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.8 m 的轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 15°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 2.5 kgL = 1.8 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一颗以 250 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 100 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 250 m/sM = 1 kgk = 100 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 65 dB 的声级。当 3 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 65 dBn = 3

β = dB

16.波、声与光学困难

静止的传感器向以 10 m/s 的速度靠近的汽车发射 30 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 280.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/6 = 9.667 s

距离

d = v·t = 29·9.667 = 280.3 m

答案

d = 280.3 m

此时警车的速度为 2v = 58 m/s。

2.运动学

答案: d = 88.29 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1544))/(2·4.905) = 4.243 s

深度

d = ½·9.81·4.243² = 88.29 m

答案

d = 88.29 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答案

a = 2.433 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.635 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 0)/3 = 1.635 m/s²

答案

a = 1.635 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 14.57 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 25° = 36.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 25° = 16.9 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 16.9²/(2·9.81) = 14.57 m

答案

H = 14.57 m

6.抛体运动

答案: x = 71.83 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 50° = 16.71 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 50° = 19.92 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 19.92·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.92 + √(396.7 + 98.1))/9.81 = 4.298 s

水平距离

x = v_x·t = 16.71·4.298 = 71.83 m

答案

x = 71.83 m

7.圆周运动

答案: θ = 14.13 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 11.11²/(50·9.81) = 0.2517

θ = 14.13°

答案

θ = 14.13°

8.圆周运动

答案: v_min = 26.45 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(280·9.81·0.2481/0.9739) = 26.45 m/s

答案

v_min = 26.45 m/s

(95.22 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 56.25 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.8192 = 20.09 N

F = μN = 0.2·20.09 = 4.018 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.018·14 = 56.25 J

答案

W_f = 56.25 J

10.功和能

答案: x = 44.29 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.15·5) = 49.05 J

最大压缩量

½kx² = 49.05 → x = √(2·49.05/500) = 0.4429 m = 44.29 cm

答案

x = 44.29 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 4.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 1.5)/(4.5 + 1.5)·9 = 4.5 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1.5)·9 = 13.5 m/s

答案

v′₁ = 4.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 138.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 15°) = 0.06133 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.06133) = 1.097 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.52·1.097/0.02 = 138.2 m/s

答案

v = 138.2 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.2485 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答案

L = 0.2485 m

14.弹簧与单摆

答案: A = 12.47 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·250/1.005 = 1.244 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(100/1.005) = 9.975 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.244/9.975 = 0.1247 m = 12.47 cm

答案

A = 12.47 cm

15.波、声与光学

答案: β = 69.77 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 3·I₁

难度

β = 65 + 10·log₁₀(3) = 69.77 dB

答案

β = 69.77 dB

16.波、声与光学

答案: f_b = 1802 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 30000·(343 + 10)/343 = 30875 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 10) = 31802 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 1802 Hz

答案

f_b = 1802 Hz

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