物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 30 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 15 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 30 mv_0B = 15 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9.5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9.5 m/sθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 45 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 31 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 75 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 75 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.2 kgr = 0.6 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 4 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.4d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 19 m/s 行驶的 700 kg 汽车撞上一辆静止的 600 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 700 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 0.5 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 15°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 4 kgL = 0.5 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的 0.7 kg 物体在无摩擦表面上以 8 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 5 cm 时的速度 v。

m = 0.7 kgk = 80 N/mA = 8 cmx = 5 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

把一个 0.2 kg 的物体挂在一根 k = 70 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 0.2 kgk = 70 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

两端开口的管的基频（一次谐波）必须为 214 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 1f₁ = 214 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光垂直照射在每毫米 200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 200 mm⁻¹λ = 600 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 25.25 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5.5) = 25.25 m

答案

s = 25.25 m

2.运动学

答案: t = 2 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

30 − ½g·t² = 15·t − ½g·t² → t = 30/15 = 2 s

答案

t = 2 s

3.牛顿定律

答案: F = 42.8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 31.53 + 11.27 = 42.8 N

答案

F = 42.8 N

4.牛顿定律

答案: d = 10.55 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.1·cos 20°) = 4.277 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·4.277) = 10.55 m

答案

d = 10.55 m

5.抛体运动

答案: θ = 8.901 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·45/38² = 0.3057

相角

2θ = 17.8° → θ = 8.901°

答案

θ = 8.901°

另一个解为 90° − θ = 81.1°。

6.抛体运动

答案: t = 5.231 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 50° = 19.93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 50° = 23.75 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 23.75·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23.75 + √(563.9 + 196.2))/9.81 = 5.231 s

答案

t = 5.231 s

7.圆周运动

答案: v_max = 19.18 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·75) = 19.18 m/s

答案

v_max = 19.18 m/s (69.05 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 124.3 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·7.5²/0.6 = 11.77 + 112.5 = 124.3 N

答案

T = 124.3 N

9.功和能

答案: v = 4.393 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·4·(0.5736 − 0.4·0.8192)) = 4.393 m/s

答案

v = 4.393 m/s

10.功和能

答案: v = 5.943 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.2·1) = 44.15 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.8) = 5.943 m/s

答案

v = 5.943 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 46.15 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·19/1300 = 10.23 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·700·19² = 126350 J

K_after = ½·1300·10.23² = 68035 J

损失的比例

ΔK/K = 58315/126350 = 46.15 %

答案

ΔK/K = 46.15 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v = 193.3 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.5·(1 − cos 15°) = 0.01704 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.01704) = 0.5782 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.012·0.5782/0.012 = 193.3 m/s

答案

v = 193.3 m/s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.6676 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(80/0.7) = 10.69 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10.69·√(0.08² − 0.05²) = 0.6676 m/s

答案

v = 0.6676 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.5244 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 0.2·9.81/70 = 0.02803 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(70/0.2) = 18.71 rad/s

v_max = A·ω = 0.02803·18.71 = 0.5244 m/s

答案

v_max = 0.5244 m/s

15.波、声与光学

答案: L = 0.8014 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/214 = 1.603 m

长度

L = nλ/2 = 1·1.603/2 = 0.8014 m

答案

L = 0.8014 m

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 6.892 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·600 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.12

θ = 6.892°

答案

θ₁ = 6.892°

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