物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 45 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 11 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 4.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 10 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 4.5 m/sd = 10 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 13 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 13 m/sθ = 40°h = 15 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 145 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 145 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.4 kg 的小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.4 kgr = 1.2 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 70°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 3 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.55 kgv_in = 11 m/sv_out = 10 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一颗以 500 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 1500 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 500 m/sM = 1 kgk = 1500 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一个高 4 cm 的物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 30 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 4 cmd_o = 30 cmf = 5 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

静止的传感器向以 15 m/s 的速度远离的汽车发射 20 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 1.786 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/7 = 1.786 s

答案

t = 1.786 s

2.运动学

答案: t = 3.199 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.199 s

答案

t = 3.199 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1032

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 4.5²/(2·10) = 1.012 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.012/9.81 = 0.1032

答案

μ = 0.1032

4.牛顿定律

答案: T = 31.56 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 16.19)/10 = 2.796 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·2.796 + 16.19 = 31.56 N

答案

T = 31.56 N

5.抛体运动

答案: H = 10.19 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 45° = 14.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 45° = 14.14 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 14.14²/(2·9.81) = 10.19 m

答案

H = 10.19 m

6.抛体运动

答案: α = 62.44 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 13·cos 40° = 9.959 m/s

v_y0 = 13·sin 40° = 8.356 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(8.356² + 2·9.81·15) = 19.08 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 19.08/9.959 → α = 62.44°

答案

α = 62.44°

7.圆周运动

答案: v_max = 29.21 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·145) = 29.21 m/s

答案

v_max = 29.21 m/s (105.2 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 108.2 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.4·9.81 + 1.4·9²/1.2 = 13.73 + 94.5 = 108.2 N

答案

T = 108.2 N

9.功和能

答案: T = 227.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 70°) = 38.73 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·38.73/3 = 227.2 N

答案

T = 227.2 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 227.2 N。

10.功和能

答案: v = 5.194 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.25·2.5) = 53.96 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.375) = 5.194 m/s

答案

v = 5.194 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −7 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 4.5)/(1 + 4.5)·11 = −7 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4.5)·11 = 4 m/s

答案

v′₁ = −7 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 2310 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(10 + 11) = 11.55 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 11.55/0.005 = 2310 N

答案

F_avg = 2310 N

13.弹簧与单摆

答案: T = 1.554 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.6/9.81) = 1.554 s

答案

T = 1.554 s

14.弹簧与单摆

答案: A = 6.439 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·500/1.005 = 2.488 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/1.005) = 38.63 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.488/38.63 = 0.06439 m = 6.439 cm

答案

A = 6.439 cm

15.波、声与光学

答案: h_i = −0.8 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/30

d_i = 6 cm

放大率与像高

m = −6/30 = −0.2

h_i = −0.2·4 = −0.8 cm

答案

h_i = −0.8 cm

16.波、声与光学

答案: f_b = 1676 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 − 15)/343 = 19125 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 15) = 18324 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 1676 Hz

答案

f_b = 1676 Hz

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