物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 300 km/h 的速度，可用跑道长 1000 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1000 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 20 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 20 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 8.5 kg 和 6 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 18 m/s、与水平方向成 70° 的角度朝 8 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 18 m/sθ = 70°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 36 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 29 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 60°h_roof = 29 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 150 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 150 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 200 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 200 mθ = 30°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 2 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 2000 N/mx = 2 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 5000 N/mx = 20 cmθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一辆以 20 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 1800 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 2000 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.25 kgv_in = 27 m/sv_out = 16 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 5 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的动能 K。

k = 80 N/mA = 5 cmx = 1 cm

K = J

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其第 3 次谐波的频率 f₃。

v = 343 m/sn = 3L = 0.75 m

f₃ = Hz

16.波、声与光学困难

一个每毫米 1200 条刻线的光栅，在偏离直进方向 76.4° 处出现某条谱线的第 2 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 1200 mm⁻¹θ₂ = 76.4°m = 2

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: a = 3.472 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·1000) = 3.472 m/s²

答案

a = 3.472 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 50.39 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9.81) = 20.39 m

离地面的高度

h_max = 30 + 20.39 = 50.39 m

答案

h_max = 50.39 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.691 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8.5 − 6)·9.81/(8.5 + 6) = 1.691 m/s²

答案

a = 1.691 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.976 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 9.32)/15 = 2.976 m/s²

答案

a = 2.976 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 13.7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 18·cos 70° = 6.156 m/s

t = x/v_x = 8/6.156 = 1.299 s

此时的高度

y = 16.91·1.299 − ½·9.81·1.299² = 13.7 m

答案

y = 13.7 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 94.04 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 18 m/s, v_y = 31.18 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

29 = 31.18·t − 4.905·t²

t = (31.18 + √(31.18² − 2·9.81·29))/9.81 = 5.224 s

水平距离

x = v_x·t = 18·5.224 = 94.04 m

答案

x = 94.04 m

7.圆周运动

答案: v_max = 27.12 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·150) = 27.12 m/s

答案

v_max = 27.12 m/s (97.65 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 29.76 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(200·9.81·0.4134/0.916) = 29.76 m/s

答案

v_min = 29.76 m/s

(107.1 km/h)

9.功和能

答案: h = 0.8155 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 2 cm = 0.02 m

½kx² = ½·2000·0.02² = 0.4 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.4/0.4905 = 0.8155 m

答案

h = 0.8155 m

10.功和能

答案: d = 4.742 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·5000·0.2² = 100 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 100/(29.43·(0.5 + 0.25·0.866)) = 4.742 m

答案

d = 4.742 m

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 189474 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·20/3800 = 10.53 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·2000·20² = 400000 J

K_after = ½·3800·10.53² = 210526 J

损失的能量

ΔK = 400000 − 210526 = 189474 J

答案

ΔK = 189474 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 10.75 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(16 + 27) = 10.75 N·s

答案

J = 10.75 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.287 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.3/9.81) = 2.287 s

答案

T = 2.287 s

14.弹簧与单摆

答案: K = 0.096 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·80·0.05² = 0.1 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·80·0.01² = 0.004 J

动能

K = 0.1 − 0.004 = 0.096 J

答案

K = 0.096 J

15.波、声与光学

答案: f₃ = 686 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.75/3 = 0.5 m

频率

f = v/λ = 343/0.5 = 686 Hz

答案

f₃ = 686 Hz

16.波、声与光学

答案: λ = 405 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 8.333 × 10⁻⁷·sin 76.4°/2 = 405 nm

答案

λ = 405 nm

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