物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 90 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.3 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 90 km/ht_r = 1.3 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 6 s，然后匀速行驶 29 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 6 st₂ = 29 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 3 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2.5 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 0.5 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 35° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.5 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 50°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 0.5 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 4 mL = 2 mμ = 0.25k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 28 m/sv_out = 4 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

把一个 1.2 kg 的物体挂在一根 k = 420 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 1.2 kgk = 420 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

频率为 500 Hz 的声源以 25 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光通过一条宽 0.05 mm 的单缝。求 1 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 633 nma = 0.05 mmL = 1 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 80.58 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 25·1.3 = 32.5 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·6.5) = 48.08 m

合计

d = 32.5 + 48.08 = 80.58 m

答案

d = 80.58 m

2.运动学

答案: s = 198 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·6 = 6 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1·6² = 18 m

s₂ = 6·29 = 174 m

s₃ = 6²/(2·3) = 6 m

总距离

s = 18 + 174 + 6 = 198 m

答案

s = 198 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.554 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答案

a = 5.554 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 15.79 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 24.53 N

m₁·g·sin θ = 7.357 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.186 N

系统的加速度

a = (24.53 − 7.357 − 3.186)/4 = 3.495 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 2.5·(9.81 − 3.495) = 15.79 N

答案

T = 15.79 N

5.抛体运动

答案: H = 4.128 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 30° = 15.59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 30° = 9 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 9²/(2·9.81) = 4.128 m

答案

H = 4.128 m

6.抛体运动

答案: t = 3.06 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 20° = 18.79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 20° = 6.84 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 6.84·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.84 + √(46.79 + 490.5))/9.81 = 3.06 s

答案

t = 3.06 s

7.圆周运动

答案: v = 1.404 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.5·sin 35° = 0.2868 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.2868·9.81·tan 35°) = 1.404 m/s

答案

v = 1.404 m/s

8.圆周运动

答案: v_min = 2.801 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答案

v_min = 2.801 m/s

9.功和能

答案: T = 33.64 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 50°) = 3.504 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·3.504/0.5 = 33.64 N

答案

T = 33.64 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 33.64 N。

10.功和能

答案: v = 8.287 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.25·2) = 17.17 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

答案

v = 8.287 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 4.5)/(3 + 4.5)·10 = −2 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4.5)·10 = 8 m/s

答案

v′₁ = −2 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 3840 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(4 + 28) = 19.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 19.2/0.005 = 3840 N

答案

F_avg = 3840 N

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.837 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2/9.81) = 2.837 s

答案

T = 2.837 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.5244 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.2·9.81/420 = 0.02803 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(420/1.2) = 18.71 rad/s

v_max = A·ω = 0.02803·18.71 = 0.5244 m/s

答案

v_max = 0.5244 m/s

15.波、声与光学

答案: f′ = 466 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 0)/(343 + 25)

f′ = 466 Hz

答案

f′ = 466 Hz

16.波、声与光学

答案: w = 25.32 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 633 × 10⁻⁹·1/(0.05 × 10⁻³) = 12.66 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 25.32 mm

答案

w = 25.32 mm

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