物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?16.67

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 60 km/ha = −3.5 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
t (s)v (m/s)4 s

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 8 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。 求两站之间的总距离 s。

a1 = 1 m/s²t1 = 4 st2 = 8 sa3 = −3.5 m/s²
s = m
3.牛顿定律中等
θ = 30°a = ?m = 5 kg

一个 5 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 10 kg10 kgθ = 35°

倾角为 35° 的斜面上有一个 10 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 10 kg 物体相连。悬挂物向下运动。 物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 10 kgm2 = 10 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 30 m/sθ = ?R = 70 m

一个球从水平地面以 30 m/s 抛出，必须落在 70 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 30 m/sR = 70 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
h = 5 mv0​ = 28 m/s45°H = ?

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 45°h = 5 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.圆周运动中等
L = 1.7 m45°

一个系在长 1.7 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 45° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。 求小球的速度 v。

L = 1.7 mθ = 45°g = 9.81 m/s²
v = m/s
8.圆周运动困难
r = 0.7 mv = ?

一个小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 vmin 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.7 mg = 9.81 m/s²
vmin = m/s
9.功和能中等
50 km/h

一辆汽车在水平路面上以 50 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 50 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²
d = m
10.功和能困难
h = 14 mR = 4 mv = ?

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 14 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 5 kgh = 14 mR = 4 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
1 kgv = ?10 gh = 17 cm

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 17 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 1 kgh = 17 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
12.动量与碰撞困难
11 m/s18 m/s

一个 0.45 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.45 kgvin = 11 m/svout = 18 m/sΔt = 50 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
L = ?

要使单摆的周期为 1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1 sg = 9.81 m/s²
L = m
14.弹簧与单摆困难
1.5 kgk = 170 N/m

把一个 1.5 kg 的物体挂在一根 k = 170 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。 求弹簧的最大伸长量 xmax，以 cm 表示。

m = 1.5 kgk = 170 N/mg = 9.81 m/s²
xmax = cm
15.波、声与光学中等
L = ?n = 7

一端封闭的管的第 7 次谐波必须为 800 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 7f7 = 800 Hz
L = m
16.波、声与光学困难
λ = 450 nmθ1​ = ?

波长为 450 nm 的光垂直照射在每毫米 1200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ1。

N = 1200 mm⁻¹λ = 450 nmm = 1
θ1 = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.762 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/3.5 = 4.762 s

答案

t = 4.762 s
2.运动学

答案: s = 42.29 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a1·t1 = 1·4 = 4 m/s

各阶段的距离

s1 = ½·1·4² = 8 m
s2 = 4·8 = 32 m
s3 = 4²/(2·3.5) = 2.286 m

总距离

s = 8 + 32 + 2.286 = 42.29 m

答案

s = 42.29 m
3.牛顿定律

答案: a = 4.055 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

答案

a = 4.055 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 81.2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 98.1 N
m₁·g·sin θ = 56.27 N
μ·m₁·g·cos θ = 8.036 N

系统的加速度

a = (98.1 − 56.27 − 8.036)/20 = 1.69 m/s²

由悬挂物求拉力

m2·g − T = m2·a → T = 10·(9.81 − 1.69) = 81.2 N

答案

T = 81.2 N
5.抛体运动

答案: θ = 24.86 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·70/30² = 0.763

相角

2θ = 49.73° → θ = 24.86°

答案

θ = 24.86°

另一个解为 90° − θ = 65.14°。

6.抛体运动

答案: H = 24.98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

vy = 28·sin 45° = 19.8 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = vy²/(2g) = 19.8²/(2·9.81) = 19.98 m

离地面的高度

H = 5 + 19.98 = 24.98 m

答案

H = 24.98 m
7.圆周运动

答案: v = 3.434 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.7·sin 45° = 1.202 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.202·9.81·tan 45°) = 3.434 m/s

答案

v = 3.434 m/s
8.圆周运动

答案: vmin = 2.62 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.7) = 2.62 m/s

答案

vmin = 2.62 m/s
9.功和能

答案: d = 19.66 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13.89²/(2·0.5·9.81) = 19.66 m

答案

d = 19.66 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 10.85 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(14 − 8) = 117.7 m²/s²
v = 10.85 m/s

答案

v = 10.85 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 184.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.17) = 1.826 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 1)·1.826/0.01 = 184.5 m/s

答案

v = 184.5 m/s
12.动量与碰撞

答案: Favg = 261 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(18 + 11) = 13.05 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 13.05/0.05 = 261 N

答案

Favg = 261 N
13.弹簧与单摆

答案: L = 0.2485 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答案

L = 0.2485 m
14.弹簧与单摆

答案: xmax = 17.31 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.5·9.81/170 = 0.08656 m = A

最低点

xmax = 2A = 0.1731 m = 17.31 cm

答案

xmax = 17.31 cm
15.波、声与光学

答案: L = 0.7503 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/800 = 0.4288 m

长度

L = nλ/4 = 7·0.4288/4 = 0.7503 m

答案

L = 0.7503 m
16.波、声与光学

答案: θ1 = 32.68 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·450 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.54
θ = 32.68°

答案

θ1 = 32.68°

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