运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。
v₀ = 100 km/ha = −8 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
一块石头由静止释放落入井中。释放后 2 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。
ttotal = 2 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
一个 18 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 18 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。
m1 = 6 kgm2 = 2.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
一个球从水平地面以 26 m/s 抛出，必须落在 65 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。
v₀ = 26 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
一个球 从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 11 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
一辆 1700 kg 的汽车以 13 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 35 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。
m = 1700 kgv = 13 m/sr = 35 mg = 9.81 m/s²
N = N
8.圆周运动困难
一个半径为 120 m 的弯道倾斜 12°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。 求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 vmax。
r = 120 mθ = 12°μs = 0.1g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
9.功和能中等
一辆汽车在水平路面上以 90 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。
v = 90 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²
d = m
10.功和能困难
一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。
m = 4 kgh = 4.5 mL = 5 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
一辆以 5 m/s 行驶的 500 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。 原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？
m1 = 500 kgv1 = 5 m/sm2 = 500 kgv2 = 0
ΔK/K = %
12.动量与碰撞困难
一个 0.45 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 7 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。
m = 0.45 kgvin = 19 m/svout = 7 m/sΔt = 50 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
一个连在 k = 360 N/m 弹簧上的 2.8 kg 物体在无摩擦表面上以 8 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 6 cm 时的速度 v。
m = 2.8 kgk = 360 N/mA = 8 cmx = 6 cm
v = m/s
14.弹簧与单摆困难
一个物体做简谐振动，周期为 3.6 s，振幅为 19 cm。 它从平衡位置运动到位移 14.25 cm 处所需的最短时间 t 是多少？
T = 3.6 sA = 19 cmx = 14.25 cm
t = s
15.波、声与光学中等
两端固定的弦长 1 m；波在其上以 200 m/s 传播。求其基频（一次谐波）的频率 f1。
v = 200 m/sn = 1L = 1 m
f1 = Hz
16.波、声与光学困难
波长为 600 nm 的光照射到相距 0.2 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求从中央亮条纹到第 3 条亮条纹的距离 y3。
λ = 600 nmd = 0.2 mmL = 2.5 mm = 3
y3 = mm
3溶液
1.运动学
答案: s = 48.23 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
单位
v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s
制动距离
0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·8) = 48.23 m
答案
s = 48.23 m
2.运动学
答案: d = 18.57 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
时间的两部分
½·9.81·t₁² = 343·(2 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 686 = 0
下落时间
只有正根有物理意义。
t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·686))/(2·4.905) = 1.946 s
深度
d = ½·9.81·1.946² = 18.57 m
答案
d = 18.57 m
3.牛顿定律
答案: a = 0.5897 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²
答案
a = 0.5897 m/s²
4.牛顿定律
答案: a = 0.8079 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (24.53 − 17.66)/8.5 = 0.8079 m/s²
答案
a = 0.8079 m/s²
5.抛体运动
答案: θ = 35.3 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
射程公式
R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/26² = 0.9433
相角
2θ = 70.61° → θ = 35.3°
答案
θ = 35.3°
另一个解为 90° − θ = 54.7°。
6.抛体运动
答案: x = 40.33 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 11·cos 20° = 10.34 m/s
vy = v0·sin θ = 11·sin 20° = 3.762 m/s
飞行时间
解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。
0 = 60 + 3.762·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (3.762 + √(14.15 + 1177))/9.81 = 3.902 s
水平距离
x = vx·t = 10.34·3.902 = 40.33 m
答案
x = 40.33 m
7.圆周运动
答案: N = 8468 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
顶点的受力
指向圆心（向下）为正。
m·g − N = m·v²/r
N = 1700·9.81 − 1700·13²/35 = 16677 − 8209 = 8468 N
答案
N = 8468 N
汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。
8.圆周运动
答案: vmax = 19.39 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
力的平衡
摩擦力沿斜面向下。
N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r
N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g
速率
v = √(120·9.81·0.3057/0.9574) = 19.39 m/s
答案
vmax = 19.39 m/s
(69.8 km/h)
9.功和能
答案: d = 79.64 m
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
以基本单位表示的速度
v = 90/3.6 = 25 m/s
能量衡算
½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.4·9.81) = 79.64 m
答案
d = 79.64 m
速度加倍，制动距离变为四倍。
10.功和能
答案: x = 22.59 cm
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.25·5) = 127.5 J
最大压缩量
½kx² = 127.5 → x = √(2·127.5/5000) = 0.2259 m = 22.59 cm
答案
x = 22.59 cm
11.动量与碰撞
答案: ΔK/K = 50 %
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
共同速度
v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 500·5/1000 = 2.5 m/s
碰撞前后的动能
Kbefore = ½·500·5² = 6250 J
Kafter = ½·1000·2.5² = 3125 J
损失的比例
ΔK/K = 3125/6250 = 50 %
答案
ΔK/K = 50 %
损失的能量转化为形变、热和声音。
12.动量与碰撞
答案: Favg = 234 N
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.45·(7 + 19) = 11.7 N·s
平均作用力
Favg = J/Δt = 11.7/0.05 = 234 N
答案
Favg = 234 N
13.弹簧与单摆
答案: v = 0.6 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = √(360/2.8) = 11.34 rad/s
x 处的速度
v = ω·√(A² − x²) = 11.34·√(0.08² − 0.06²) = 0.6 m/s
答案
v = 0.6 m/s
14.弹簧与单摆
答案: t = 0.4859 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = 2π/T = 2π/3.6 = 1.745 rad/s
求解时间
0.75 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.75) = 0.8481 rad
t = 0.8481/1.745 = 0.4859 s
答案
t = 0.4859 s
15.波、声与光学
答案: f1 = 100 Hz
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
该模式的波长
λ = 2L/n = 2·1/1 = 2 m
频率
f = v/λ = 200/2 = 100 Hz
答案
f1 = 100 Hz
16.波、声与光学
答案: y3 = 22.5 mm
干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。
条纹间距
Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·2.5/(0.2 × 10⁻³) = 7.5 mm
第 3 条条纹
y3 = 3·7.5 = 22.5 mm
答案
y3 = 22.5 mm
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