物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 90 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.6 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 90 km/ht_r = 0.6 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 7 s，然后匀速行驶 6 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 7 st₂ = 6 sa₃ = −2.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 13 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 13 kgθ = 45°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 90 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 90 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从地面以 33 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 12 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 65°h_roof = 12 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 40 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 40 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1 kgr = 1.1 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.35d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 4 mL = 4 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 19 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1100 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 0.6 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 1 kgL = 0.6 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2 s，振幅为 17 cm。它从最大位移 17 cm 处运动到位移 15.3 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2 sA = 17 cmx = 15.3 cm

t = s

15.波、声与光学中等

光在水（n = 1.33）中向与空气（n = 1.00）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.33n₂ = 1.00

θ_c = °

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 25 cm：透镜 1 的 f₁ = 5 cm，透镜 2 的 f₂ = −10 cm。一个物体位于透镜 1 前 25 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 5 cmf₂ = −10 cms = 25 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 71.82 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 25·0.6 = 15 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·5.5) = 56.82 m

合计

d = 15 + 56.82 = 71.82 m

答案

d = 71.82 m

2.运动学

答案: s = 76.3 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·7 = 7 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1·7² = 24.5 m

s₂ = 7·6 = 42 m

s₃ = 7²/(2·2.5) = 9.8 m

总距离

s = 24.5 + 42 + 9.8 = 76.3 m

答案

s = 76.3 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.243 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.1·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.07071) = 6.243 m/s²

答案

a = 6.243 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.523 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 12.75)/10.5 = 2.523 m/s²

答案

a = 2.523 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 18.85 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·90/38² = 0.6114

相角

2θ = 37.69° → θ = 18.85°

答案

θ = 18.85°

另一个解为 90° − θ = 71.15°。

6.抛体运动

答案: x = 79.02 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 13.95 m/s, v_y = 29.91 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

12 = 29.91·t − 4.905·t²

t = (29.91 + √(29.91² − 2·9.81·12))/9.81 = 5.666 s

水平距离

x = v_x·t = 13.95·5.666 = 79.02 m

答案

x = 79.02 m

7.圆周运动

答案: v_max = 16.57 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·40) = 16.57 m/s

答案

v_max = 16.57 m/s (59.66 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 37.31 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9.81 + 1·5.5²/1.1 = 9.81 + 27.5 = 37.31 N

答案

T = 37.31 N

9.功和能

答案: v = 7.173 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 7.173 m/s

答案

v = 7.173 m/s

10.功和能

答案: x = 24.26 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4 − 0.25·4) = 117.7 J

最大压缩量

½kx² = 117.7 → x = √(2·117.7/4000) = 0.2426 m = 24.26 cm

答案

x = 24.26 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 62047 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·19/1600 = 13.06 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1100·19² = 198550 J

K_after = ½·1600·13.06² = 136503 J

损失的能量

ΔK = 198550 − 136503 = 62047 J

答案

ΔK = 62047 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v = 209.1 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 40°) = 0.1404 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1404) = 1.66 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.008·1.66/0.008 = 209.1 m/s

答案

v = 209.1 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.09 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.9/2π)² = 2.09 m

答案

L = 2.09 m

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.1436 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/2 = 3.142 rad/s

求解时间

0.9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.9) = 0.451 rad

t = 0.451/3.142 = 0.1436 s

答案

t = 0.1436 s

15.波、声与光学

答案: θ_c = 48.75 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.00/1.33 = 0.7519

临界角

θc = arcsin(0.7519) = 48.75°

答案

θ_c = 48.75°

16.波、声与光学

答案: d_i2 = −6.522 cm

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/5 − 1/25 → d_i1 = 6.25 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 25 − 6.25 = 18.75 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/18.75 → d_i2 = −6.522 cm

答案

d_i2 = −6.522 cm

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