物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 300 km/h 的速度，可用跑道长 1000 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1000 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 30 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 30° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 30 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 6 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 8.5 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 22 m/s 抛出，必须落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 22 m/sR = 45 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 90 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 90 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 240 m 的弯道倾斜 25°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 240 mθ = 25°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 13 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 35°μ = 0.25d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 2 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 4 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 1 kgh = 4 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 18 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 18 m/sv_out = 4 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 2 kg 的物体连在 k = 340 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 19 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2 kgk = 340 N/mA = 19 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

光在冕牌玻璃（n = 1.50）中向与甘油（n = 1.47）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.50n₂ = 1.47

θ_c = °

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 50 cm：透镜 1 的 f₁ = 10 cm，透镜 2 的 f₂ = −20 cm。一个物体位于透镜 1 前 25 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 10 cmf₂ = −20 cms = 50 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: a = 3.472 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·1000) = 3.472 m/s²

答案

a = 3.472 m/s²

2.运动学

答案: t = 5.076 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·35))/9.81 = 5.076 s

答案

t = 5.076 s

3.牛顿定律

答案: F = 185.4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 147.1 + 38.23 = 185.4 N

答案

F = 185.4 N

4.牛顿定律

答案: T = 53.78 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 24.88 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.002 N

系统的加速度

a = (83.39 − 24.88 − 8.002)/14.5 = 3.483 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 8.5·(9.81 − 3.483) = 53.78 N

答案

T = 53.78 N

5.抛体运动

答案: θ = 32.9 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·45/22² = 0.9121

相角

2θ = 65.8° → θ = 32.9°

答案

θ = 32.9°

另一个解为 90° − θ = 57.1°。

6.抛体运动

答案: t = 4.529 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 60° = 9 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 60° = 15.59 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 15.59·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.59 + √(243 + 588.6))/9.81 = 4.529 s

答案

t = 4.529 s

7.圆周运动

答案: v_max = 16.27 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·90) = 16.27 m/s

答案

v_max = 16.27 m/s (58.59 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 50.07 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(240·9.81·0.7851/0.7373) = 50.07 m/s

答案

v_max = 50.07 m/s

(180.3 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 13.06 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.8192 = 4.018 N

F = μN = 0.25·4.018 = 1.004 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.004·13 = 13.06 J

答案

W_f = 13.06 J

10.功和能

答案: x = 5.86 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.25·4.5) = 4.292 J

最大压缩量

½kx² = 4.292 → x = √(2·4.292/2500) = 0.0586 m = 5.86 cm

答案

x = 5.86 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 59.95 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.04) = 0.8859 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 1)·0.8859/0.015 = 59.95 m/s

答案

v = 59.95 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 3.3 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(4 + 18) = 3.3 N·s

答案

J = 3.3 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.006 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1/9.81) = 2.006 s

答案

T = 2.006 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 32.3 m/s²

角频率

ω = √(340/2) = 13.04 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.19·13.04² = 32.3 m/s²

答案

a_max = 32.3 m/s²

15.波、声与光学

答案: θ_c = 78.52 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.47/1.50 = 0.98

临界角

θc = arcsin(0.98) = 78.52°

答案

θ_c = 78.52°

16.波、声与光学

答案: d_i2 = −12.5 cm

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/10 − 1/25 → d_i1 = 16.67 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 50 − 16.67 = 33.33 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/33.33 → d_i2 = −12.5 cm

答案

d_i2 = −12.5 cm

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