物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
警车a = 4 m/s²汽车22 m/s

一辆以恒定的 22 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4 m/s² 匀加速。 警车需要多长时间追上？求 t。

vcar = 22 m/sapolice = 4 m/s²v0,police = 0
t = s
2.运动学困难
v₀ = 17 m/s40 m

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 17 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 25°a = ?m = 4 kg

一个 4 kg 的物块沿倾角为 25° 的光滑斜面下滑。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
12 kg11 kgTF = 130 Nμ = 0.1

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 130 N 的水平力拉前面 11 kg 的物块；12 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。 求连接绳中的拉力 T。

m1 = 12 kgm2 = 11 kgF = 130 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 12 m/s30°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 12 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 35 mv0​ = 16 m/s25°x = ?

一个球 从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 16 m/sθ = 25°h = 35 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
r = 150 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 150 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 150 mμs = 0.3g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
r = 1.3 mv = 4 m/s

一个 1.7 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.7 kgr = 1.3 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
50°L = 1.5 m5 kg

一个 5 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 50°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 5 kgL = 1.5 mθ = 50°g = 9.81 m/s²
T = N
10.功和能困难
F = 15 N25°μ = 0.22 kg

一个 2 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 15 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 6 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 15 Nθ = 25°μ = 0.2d = 6 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
800 kg11 m/s500 kg

一辆以 11 m/s 行驶的 800 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m1 = 800 kgv1 = 11 m/sm2 = 500 kgv2 = 0
ΔK = J
12.动量与碰撞困难
4 kgv = ?12 g25°L = 1.8 m

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 1.8 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 4 kgL = 1.8 mθ = 25°g = 9.81 m/s²
v = m/s
13.弹簧与单摆中等
L = 1.3 m

一个单摆的摆长为 1.3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.3 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.弹簧与单摆困难
t (s)x (cm)t = ?4.9

一个物体做简谐振动，周期为 3.2 s，振幅为 7 cm。 它从最大位移 7 cm 处运动到位移 4.9 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.2 sA = 7 cmx = 4.9 cm
t = s
15.波、声与光学中等
Pβ = ?r = 20 m

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 0.2 W 的声功率。求 20 m 处的声强级 β。

P = 0.2 Wr = 20 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
16.波、声与光学困难
λ = 650 nma = 0.2 mm

波长为 650 nm 的光通过一条宽 0.2 mm 的单缝。求第 3 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ3。

λ = 650 nma = 0.2 mmm = 3
θ3 = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 11 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/4 = 11 s

答案

t = 11 s

此时警车的速度为 2v = 44 m/s。

2.运动学

答案: t = 5.073 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 17·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 17·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·40))/9.81 = 5.073 s

答案

t = 5.073 s
3.牛顿定律

答案: a = 4.146 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答案

a = 4.146 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 67.83 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m1 + m2)·g)/(m1 + m2) = (130 − 22.56)/23 = 4.671 m/s²

单独分析后面的物块

T = m1·(a + μ·g) = 12·(4.671 + 0.981) = 67.83 N

答案

T = 67.83 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 1.835 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 12·cos 30° = 10.39 m/s
vy = v0·sin θ = 12·sin 30° = 6 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 6²/(2·9.81) = 1.835 m

答案

H = 1.835 m
6.抛体运动

答案: x = 50 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 16·cos 25° = 14.5 m/s
vy = v0·sin θ = 16·sin 25° = 6.762 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 6.762·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (6.762 + √(45.72 + 686.7))/9.81 = 3.448 s

水平距离

x = vx·t = 14.5·3.448 = 50 m

答案

x = 50 m
7.圆周运动

答案: vmax = 21.01 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·150) = 21.01 m/s

答案

vmax = 21.01 m/s (75.64 km/h)
8.圆周运动

答案: T = 37.6 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 1.7·9.81 + 1.7·4²/1.3 = 16.68 + 20.92 = 37.6 N

答案

T = 37.6 N
9.功和能

答案: T = 84.09 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 50°) = 10.51 m²/s²

最低点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N
T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·10.51/1.5 = 84.09 N

答案

T = 84.09 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 84.09 N。

10.功和能

答案: v = 4.349 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N
mg·sin θ = 8.292 N
μ·mg·cos θ = 3.556 N

功–能关系

½mv² = (15 − 11.85)·6 = 18.91 J
v = √(2·18.91/2) = 4.349 m/s

答案

v = 4.349 m/s
11.动量与碰撞

答案: ΔK = 18615 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 800·11/1300 = 6.769 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·800·11² = 48400 J
Kafter = ½·1300·6.769² = 29785 J

损失的能量

ΔK = 48400 − 29785 = 18615 J

答案

ΔK = 18615 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v = 608.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 25°) = 0.1686 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1686) = 1.819 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.012·1.819/0.012 = 608.2 m/s

答案

v = 608.2 m/s
13.弹簧与单摆

答案: T = 2.287 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.3/9.81) = 2.287 s

答案

T = 2.287 s
14.弹簧与单摆

答案: t = 0.4051 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.2 = 1.963 rad/s

求解时间

0.7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.7) = 0.7954 rad
t = 0.7954/1.963 = 0.4051 s

答案

t = 0.4051 s
15.波、声与光学

答案: β = 76 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 3.979 × 10⁻⁵ W/m²

难度

β = 10·log₁₀(3.979 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 76 dB

答案

β = 76 dB
16.波、声与光学

答案: θ3 = 0.5586 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.00975
θ = 0.5586°

答案

θ3 = 0.5586°

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