物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 300 km/h 的速度，可用跑道长 1400 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1400 m

a = m/s²

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 30 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 30 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 40° 的角度抛出，落在 40 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 40°R = 40 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 110 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 110 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 1 kg 的小车在无摩擦轨道上从 19.8 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 5.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 1 kgh = 19.8 mR = 5.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 90 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 90 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 9.6 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 3 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 9.6 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 7 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.25 kgv_in = 15 m/sv_out = 7 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.5 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.49 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.5 mT = 3.49 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 2.6 kg 的物体连在 k = 160 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 7 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.6 kgk = 160 N/mA = 7 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 1 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 1 m

f₁ = Hz

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 60 cm：透镜 1 的 f₁ = 10 cm，透镜 2 的 f₂ = −10 cm。一个物体位于透镜 1 前 18 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 10 cmf₂ = −10 cms = 60 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: a = 2.48 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·1400) = 2.48 m/s²

答案

a = 2.48 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 243.5 m

动力阶段

v₁ = 30·2 = 60 m/s

h₁ = ½·30·2² = 60 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 60²/(2·9.81) = 183.5 m

h_max = 60 + 183.5 = 243.5 m

答案

h_max = 243.5 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.203 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答案

a = 5.203 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 4.701 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 6.131)/6 = 4.701 m/s²

答案

a = 4.701 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 19.96 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·40/sin 80°) = 19.96 m/s

答案

v₀ = 19.96 m/s

6.抛体运动

答案: x = 153.4 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 45° = 24.75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 45° = 24.75 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 24.75·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (24.75 + √(612.5 + 686.7))/9.81 = 6.197 s

水平距离

x = v_x·t = 24.75·6.197 = 153.4 m

答案

x = 153.4 m

7.圆周运动

答案: v_max = 27.48 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·110) = 27.48 m/s

答案

v_max = 27.48 m/s (98.94 km/h)

8.圆周运动

答案: N_top = 21.58 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(19.8 − 2·5.5) = 172.7 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 1·172.7/5.5 − 9.81 = 21.58 N

答案

N_top = 21.58 N

9.功和能

答案: d = 79.64 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 90/3.6 = 25 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.4·9.81) = 79.64 m

答案

d = 79.64 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: N = 68.67 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(9.6 − 6) = 70.63 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·70.63/3 − 49.05 = 68.67 N

答案

N = 68.67 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −9.818 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 5)/(0.5 + 5)·12 = −9.818 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 5)·12 = 2.182 m/s

答案

v′₁ = −9.818 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: J = 5.5 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(7 + 15) = 5.5 N·s

答案

J = 5.5 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 1.621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.5/3.49² = 1.621 m/s²

答案

g = 1.621 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.5491 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(160/2.6) = 7.845 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.07·7.845 = 0.5491 m/s

答案

v_max = 0.5491 m/s

15.波、声与光学

答案: f₁ = 85.75 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·1/1 = 4 m

频率

f = v/λ = 343/4 = 85.75 Hz

答案

f₁ = 85.75 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i2 = −7.895 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/10 − 1/18 → d_i1 = 22.5 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 60 − 22.5 = 37.5 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/37.5 → d_i2 = −7.895 cm

答案

d_i2 = −7.895 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics