物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 17 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5.5 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 17 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 34 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 34 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 6.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 22 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 6.5 m/sd = 22 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 36 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 75 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 75 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 250 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 250 mθ = 30°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 0.2 kg 的球挂在长 0.8 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 30°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.2 kgL = 0.8 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 2 mL = 2 mμ = 0.1k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 4 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4.5 kgh = 4 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1000 kg 的汽车撞上一辆停放的 800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 6.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1000 kgm₂ = 800 kgd = 6.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一颗以 450 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 4 kg 木块中。木块连在一根 k = 1900 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 450 m/sM = 4 kgk = 1900 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 1.5 m。声速为 343 m/s。求其第 4 次谐波的频率 f₄。

v = 343 m/sn = 4L = 1.5 m

f₄ = Hz

16.波、声与光学困难

一个每毫米 200 条刻线的光栅，在偏离直进方向 5.2° 处出现某条谱线的第 1 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 200 mm⁻¹θ₁ = 5.2°m = 1

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.182 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/5.5 = 6.182 s

答案

t = 6.182 s

此时警车的速度为 2v = 34 m/s。

2.运动学

答案: t = 12.6 s

动力阶段

v₁ = 34·1.5 = 51 m/s

h₁ = ½·34·1.5² = 38.25 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (51 + √(51² + 2·9.81·38.25))/9.81 = 11.1 s

t = 1.5 + 11.1 = 12.6 s

答案

t = 12.6 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.09788

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 6.5²/(2·22) = 0.9602 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9602/9.81 = 0.09788

答案

μ = 0.09788

4.牛顿定律

答案: a = 2.854 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 17.66)/11 = 2.854 m/s²

答案

a = 2.854 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 5.19 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 45° = 25.46 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 45° = 25.46 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·25.46/9.81 = 5.19 s

答案

t = 5.19 s

6.抛体运动

答案: x = 101.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 25° = 21.75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 25° = 10.14 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 10.14·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.14 + √(102.9 + 1177))/9.81 = 4.681 s

水平距离

x = v_x·t = 21.75·4.681 = 101.8 m

答案

x = 101.8 m

7.圆周运动

答案: v_max = 21.01 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·75) = 21.01 m/s

答案

v_max = 21.01 m/s (75.64 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 46.43 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(250·9.81·0.6732/0.766) = 46.43 m/s

答案

v_max = 46.43 m/s

(167.1 km/h)

9.功和能

答案: T = 2.488 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 30°) = 2.103 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·2.103/0.8 = 2.488 N

答案

T = 2.488 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 2.488 N。

10.功和能

答案: v = 5.943 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(2 − 0.1·2) = 17.66 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.8) = 5.943 m/s

答案

v = 5.943 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 399.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.04) = 0.8859 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4.5)·0.8859/0.01 = 399.5 m/s

答案

v = 399.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 17.6 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·6.5) = 9.78 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1800·9.78/1000 = 17.6 m/s

答案

v₁ = 17.6 m/s

(63.37 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.994 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2/2π)² = 0.994 m

答案

L = 0.994 m

14.弹簧与单摆

答案: A = 6.185 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·450/4.012 = 1.346 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1900/4.012) = 21.76 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.346/21.76 = 0.06185 m = 6.185 cm

答案

A = 6.185 cm

15.波、声与光学

答案: f₄ = 457.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1.5/4 = 0.75 m

频率

f = v/λ = 343/0.75 = 457.3 Hz

答案

f₄ = 457.3 Hz

16.波、声与光学

答案: λ = 453.2 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 5 × 10⁻⁶·sin 5.2°/1 = 453.2 nm

答案

λ = 453.2 nm

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