物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.4 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.4 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

质量为 6.5 kg 和 5.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 5.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 32 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.6 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.6 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 0.9 kg 的球系在长 0.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 12 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.9 kgr = 0.5 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 15 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.15d = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 15 kg 的物块从 15° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 80 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 3 m 后的速度 v。

m = 15 kgF = 80 Nθ = 15°μ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 20 m/s 水平运动的 15 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 57 m/s 继续向前运动。求 11 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 15 kgu = 20 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 57 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 14 m/sv_out = 4 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 200 N/m 弹簧上的 2.5 kg 物体被沿正方向拉开 12 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.65 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.5 kgk = 200 N/mA = 12 cmt = 0.65 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一颗以 400 m/s 运动的 10 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 0.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 500 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 10 gv = 400 m/sM = 0.5 kgk = 500 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

两端固定的弦长 1 m；波在其上以 80 m/s 传播。求其第 4 次谐波的频率 f₄。

v = 80 m/sn = 4L = 1 m

f₄ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光通过一条宽 0.08 mm 的单缝。求第 1 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₁。

λ = 500 nma = 0.08 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 9.524 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/3.5 = 9.524 s

答案

t = 9.524 s

2.运动学

答案: d = 84.61 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.4 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1509 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1509))/(2·4.905) = 4.153 s

深度

d = ½·9.81·4.153² = 84.61 m

答案

d = 84.61 m

3.牛顿定律

答案: a = 0.8175 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (6.5 − 5.5)·9.81/(6.5 + 5.5) = 0.8175 m/s²

答案

a = 0.8175 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 8.393 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 0.981)/4.5 = 7.412 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·7.412 + 0.981 = 8.393 N

答案

T = 8.393 N

5.抛体运动

答案: t = 4.613 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 45° = 22.63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 45° = 22.63 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·22.63/9.81 = 4.613 s

答案

t = 4.613 s

6.抛体运动

答案: t = 4.106 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 35° = 13.11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 35° = 9.177 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 9.177·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.177 + √(84.22 + 882.9))/9.81 = 4.106 s

答案

t = 4.106 s

7.圆周运动

答案: ω = 2.172 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·2.6)) = 2.172 rad/s

答案

ω = 2.172 rad/s

8.圆周运动

答案: T_top = 215.1 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 12² − 4·9.81·0.5 = 124.4 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.9·124.4/0.5 − 0.9·9.81 = 215.1 N

答案

T_top = 215.1 N

9.功和能

答案: v = 12.46 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·15·(0.6428 − 0.15·0.766)) = 12.46 m/s

答案

v = 12.46 m/s

10.功和能

答案: v = 2.323 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 38.09 N

μ·mg·cos θ = 28.43 N

功–能关系

½mv² = (80 − 66.51)·3 = 40.46 J

v = √(2·40.46/15) = 2.323 m/s

答案

v = 2.323 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6.545 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 15·20 = 300 kg·m/s

碰撞后的动量

300 = 4·57 + 11·v′₂

v′₂ = (300 − 228)/11 = 6.545 m/s

答案

v′₂ = 6.545 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 9.9 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(4 + 14) = 9.9 N·s

答案

J = 9.9 N·s

13.弹簧与单摆

答案: x = 10.7 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(200/2.5) = 8.944 rad/s

ω·t = 8.944·0.65 = 5.814 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(5.814) = 10.7 cm

答案

x = 10.7 cm

14.弹簧与单摆

答案: A = 25.05 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.01·400/0.51 = 7.843 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(500/0.51) = 31.31 rad/s

振幅

A = V/ω = 7.843/31.31 = 0.2505 m = 25.05 cm

答案

A = 25.05 cm

15.波、声与光学

答案: f₄ = 160 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1/4 = 0.5 m

频率

f = v/λ = 80/0.5 = 160 Hz

答案

f₄ = 160 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 0.3581 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.00625

θ = 0.3581°

答案

θ₁ = 0.3581°

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