物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2.5 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1400 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2.5 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 13 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 45°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 16 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 26 m/sθ = 25°x = 16 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1700 kg 的汽车以 18 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 45 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1700 kgv = 18 m/sr = 45 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个半径为 260 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 260 mθ = 30°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 4 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.2 kgk = 1000 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 80 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 10 m 后的速度 v。

m = 8 kgF = 80 Nθ = 25°μ = 0.2d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 29 m/s 水平运动的 5 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 79 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 5 kgu = 29 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 79 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 11 m/sv_out = 14 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 190 N/m 弹簧上的 1.6 kg 物体被沿正方向拉开 7 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.7 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 1.6 kgk = 190 N/mA = 7 cmt = 0.7 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 330 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 5 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 330 N/mA = 6 cmx = 5 cm

U = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.4 m。声速为 343 m/s。求其第 7 次谐波的频率 f₇。

v = 343 m/sn = 7L = 0.4 m

f₇ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光照射到相距 0.2 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 589 nmd = 0.2 mmL = 3 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 83.67 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2.5·1400) = 83.67 m/s

答案

v = 83.67 m/s

(301.2 km/h)

2.运动学

答案: t = 4.473 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.473 s

答案

t = 4.473 s

3.牛顿定律

答案: a = 5.549 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.2·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1414) = 5.549 m/s²

答案

a = 5.549 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 28.69 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 13.24)/9 = 3.434 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4.5·3.434 + 13.24 = 28.69 N

答案

T = 28.69 N

5.抛体运动

答案: y = 5.2 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 26·cos 25° = 23.56 m/s

t = x/v_x = 16/23.56 = 0.679 s

此时的高度

y = 10.99·0.679 − ½·9.81·0.679² = 5.2 m

答案

y = 5.2 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 54.9 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 50° = 11.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 50° = 13.79 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 13.79·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.79 + √(190.1 + 882.9))/9.81 = 4.745 s

水平距离

x = v_x·t = 11.57·4.745 = 54.9 m

答案

x = 54.9 m

7.圆周运动

答案: N = 4437 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9.81 − 1700·18²/45 = 16677 − 12240 = 4437 N

答案

N = 4437 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_min = 31.67 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(260·9.81·0.3701/0.941) = 31.67 m/s

答案

v_min = 31.67 m/s

(114 km/h)

9.功和能

答案: h = 0.4077 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·1000·0.04² = 0.8 J

高度

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 0.8/1.962 = 0.4077 m

答案

h = 0.4077 m

10.功和能

答案: v = 9.029 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 33.17 N

μ·mg·cos θ = 14.23 N

功–能关系

½mv² = (80 − 47.39)·10 = 326.1 J

v = √(2·326.1/8) = 9.029 m/s

答案

v = 9.029 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 16.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 5·29 = 145 kg·m/s

碰撞后的动量

145 = 1·79 + 4·v′₂

v′₂ = (145 − 79)/4 = 16.5 m/s

答案

v′₂ = 16.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 875 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(14 + 11) = 8.75 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 8.75/0.01 = 875 N

答案

F_avg = 875 N

13.弹簧与单摆

答案: v = −0.7434 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(190/1.6) = 10.9 rad/s

ω·t = 10.9·0.7 = 7.628 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.07·10.9·sin(7.628) = −0.7434 m/s

答案

v = −0.7434 m/s

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.4125 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·330·0.06² = 0.594 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·330·0.05² = 0.4125 J

答案

U = 0.4125 J

15.波、声与光学

答案: f₇ = 1501 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.4/7 = 0.2286 m

频率

f = v/λ = 343/0.2286 = 1501 Hz

答案

f₇ = 1501 Hz

16.波、声与光学

答案: Δy = 8.835 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·3/(0.2 × 10⁻³) = 8.835 mm

答案

Δy = 8.835 mm

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