物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 1.5 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1100 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 1.5 m/s²s = 1100 m

v = m/s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 9 s，然后匀速行驶 28 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 9 st₂ = 28 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

质量为 9.5 kg 和 8 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 8 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s 抛出，必须落在 130 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 40 m/sR = 130 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 23 m/sθ = 50°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 140 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 140 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.8 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.8 kgr = 0.7 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.5 kgk = 1500 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 1.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 22 m/s 行驶的 1400 kg 汽车撞上一辆静止的 1700 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1400 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.25 kgv_in = 27 m/sv_out = 11 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 1.7 kg 的物体连在 k = 440 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.7 kgk = 440 N/mA = 11 cm

E = J

15.波、声与光学中等

两端固定的弦长 0.8 m；波在其上以 240 m/s 传播。求其第 4 次谐波的频率 f₄。

v = 240 m/sn = 4L = 0.8 m

f₄ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求从中央亮条纹到第 3 条亮条纹的距离 y₃。

λ = 532 nmd = 0.5 mmL = 2.5 mm = 3

y₃ = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 57.45 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·1.5·1100) = 57.45 m/s

答案

v = 57.45 m/s

(206.8 km/h)

2.运动学

答案: s = 639 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·9 = 18 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2·9² = 81 m

s₂ = 18·28 = 504 m

s₃ = 18²/(2·3) = 54 m

总距离

s = 81 + 504 + 54 = 639 m

答案

s = 639 m

3.牛顿定律

答案: a = 0.8409 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (9.5 − 8)·9.81/(9.5 + 8) = 0.8409 m/s²

答案

a = 0.8409 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 18.92 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 4.905)/7 = 5.606 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·5.606 + 4.905 = 18.92 N

答案

T = 18.92 N

5.抛体运动

答案: θ = 26.43 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·130/40² = 0.7971

相角

2θ = 52.85° → θ = 26.43°

答案

θ = 26.43°

另一个解为 90° − θ = 63.57°。

6.抛体运动

答案: x = 80.71 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 50° = 14.78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 50° = 17.62 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 17.62·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.62 + √(310.4 + 981))/9.81 = 5.459 s

水平距离

x = v_x·t = 14.78·5.459 = 80.71 m

答案

x = 80.71 m

7.圆周运动

答案: v_max = 20.3 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·140) = 20.3 m/s

答案

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 182.2 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·8²/0.7 = 17.66 + 164.6 = 182.2 N

答案

T = 182.2 N

9.功和能

答案: h = 1.529 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1500·0.1² = 7.5 J

高度

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 7.5/4.905 = 1.529 m

答案

h = 1.529 m

10.功和能

答案: v = 4.202 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(1.5 − 0.15·4) = 88.29 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.9) = 4.202 m/s

答案

v = 4.202 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 185794 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·22/3100 = 9.935 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1400·22² = 338800 J

K_after = ½·3100·9.935² = 153006 J

损失的能量

ΔK = 338800 − 153006 = 185794 J

答案

ΔK = 185794 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 9.5 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(11 + 27) = 9.5 N·s

答案

J = 9.5 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 1.554 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.6/9.81) = 1.554 s

答案

T = 1.554 s

14.弹簧与单摆

答案: E = 2.662 J

角频率

ω = √(440/1.7) = 16.09 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·440·0.11² = 2.662 J

答案

E = 2.662 J

15.波、声与光学

答案: f₄ = 600 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.8/4 = 0.4 m

频率

f = v/λ = 240/0.4 = 600 Hz

答案

f₄ = 600 Hz

16.波、声与光学

答案: y₃ = 7.98 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2.5/(0.5 × 10⁻³) = 2.66 mm

第 3 条条纹

y₃ = 3·2.66 = 7.98 mm

答案

y₃ = 7.98 mm

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