物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.9 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 40° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5 m/sθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 11 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 60 km/h 通过半径为 270 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 270 mv = 60 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一辆 2.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 24 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 7.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 2.5 kgh = 24 mR = 7.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 30°μ = 0.4d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从 30° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 45 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 10 m 后的速度 v。

m = 5 kgF = 45 Nθ = 30°μ = 0.15d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 16 m/s 行驶的 900 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 900 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 19 m/sv_out = 16 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 50 N/m 弹簧上的 0.4 kg 物体被沿正方向拉开 7 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.9 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.4 kgk = 50 N/mA = 7 cmt = 0.9 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个 3.5 kg 的物体连在 k = 180 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.5 kgk = 180 N/mA = 11 cm

E = J

15.波、声与光学中等

对于入射角大于 24.4° 的每一个角度，透明块内的光在与空气（n = 1.00）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 24.4°n₂ = 1.00

n₁ =

16.波、声与光学困难

静止的传感器向以 15 m/s 的速度靠近的汽车发射 30 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 14.2 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·5.5) = 14.2 m

答案

s = 14.2 m

2.运动学

答案: d = 16.81 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 651.7 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·651.7))/(2·4.905) = 1.851 s

深度

d = ½·9.81·1.851² = 16.81 m

答案

d = 16.81 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.306 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答案

a = 6.306 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 2.638 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.15·cos 20°) = 4.738 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·4.738) = 2.638 m

答案

d = 2.638 m

5.抛体运动

答案: x = 61.22 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 65° = 11.83 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 65° = 25.38 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·25.38/9.81 = 5.174 s

水平距离

x = v_x·t = 11.83·5.174 = 61.22 m

答案

x = 61.22 m

6.抛体运动

答案: t = 2.991 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 35° = 9.011 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 35° = 6.309 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 6.309·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.309 + √(39.81 + 490.5))/9.81 = 2.991 s

答案

t = 2.991 s

7.圆周运动

答案: θ = 5.987 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 16.67²/(270·9.81) = 0.1049

θ = 5.987°

答案

θ = 5.987°

8.圆周运动

答案: N_bottom = 181.5 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·24 = 470.9 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 2.5·470.9/7.5 + 24.53 = 181.5 N

答案

N_bottom = 181.5 N

9.功和能

答案: W_f = 135.9 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.866 = 33.98 N

F = μN = 0.4·33.98 = 13.59 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 13.59·10 = 135.9 J

答案

W_f = 135.9 J

10.功和能

答案: v = 7.511 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 24.52 N

μ·mg·cos θ = 6.372 N

功–能关系

½mv² = (45 − 30.9)·10 = 141 J

v = √(2·141/5) = 7.511 m/s

答案

v = 7.511 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 35.71 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 900·16/1400 = 10.29 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·900·16² = 115200 J

K_after = ½·1400·10.29² = 74057 J

损失的比例

ΔK/K = 41143/115200 = 35.71 %

答案

ΔK/K = 35.71 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 131.3 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(16 + 19) = 5.25 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 5.25/0.04 = 131.3 N

答案

F_avg = 131.3 N

13.弹簧与单摆

答案: x = −5.625 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(50/0.4) = 11.18 rad/s

ω·t = 11.18·0.9 = 10.06 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(10.06) = −5.625 cm

答案

x = −5.625 cm

14.弹簧与单摆

答案: E = 1.089 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(180/3.5) = 7.171 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·180·0.11² = 1.089 J

答案

E = 1.089 J

15.波、声与光学

答案: n₁ = 2.421

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.4131 = 2.421

答案

n₁ = 2.421

16.波、声与光学

答案: f_b = 2744 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 30000·(343 + 15)/343 = 31312 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 15) = 32744 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 2744 Hz

答案

f_b = 2744 Hz

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