物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 72 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 55 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 25 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 55 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 70 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；10 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 10 kgm₂ = 7 kgF = 70 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 22 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 34 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 34 m/sθ = 65°h = 45 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 80 km/h 通过半径为 110 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 110 mv = 80 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 200 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.5 kgk = 200 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 3 mL = 1 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 7 m/s 行驶的 1900 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1900 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 1 kgL = 1 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 140 N/m 弹簧上的 1.1 kg 物体在无摩擦表面上以 7 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 4 cm 时的速度 v。

m = 1.1 kgk = 140 N/mA = 7 cmx = 4 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一颗以 400 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1000 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 400 m/sM = 1.5 kgk = 1000 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 70 dB 的声级。当 5 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 70 dBn = 5

β = dB

16.波、声与光学困难

一个衍射光栅每毫米有 600 条刻线。波长为 550 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 m_max？

N = 600 mm⁻¹λ = 550 nm

m_max =

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.444 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/4.5 = 4.444 s

答案

t = 4.444 s

2.运动学

答案: t = 2.2 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

55 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 55/25 = 2.2 s

答案

t = 2.2 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.257 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²

答案

a = 3.257 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 41.18 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (70 − 16.68)/17 = 3.137 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(3.137 + 0.981) = 41.18 N

答案

T = 41.18 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 2.886 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 20° = 20.67 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 20° = 7.524 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 7.524²/(2·9.81) = 2.886 m

答案

H = 2.886 m

6.抛体运动

答案: H = 93.4 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 34·sin 65° = 30.81 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 30.81²/(2·9.81) = 48.4 m

离地面的高度

H = 45 + 48.4 = 93.4 m

答案

H = 93.4 m

7.圆周运动

答案: θ = 24.59 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 22.22²/(110·9.81) = 0.4576

θ = 24.59°

答案

θ = 24.59°

8.圆周运动

答案: v_min = 3.132 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1) = 3.132 m/s

答案

v_min = 3.132 m/s

9.功和能

答案: h = 0.2039 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·200·0.1² = 1 J

高度

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 1/4.905 = 0.2039 m

答案

h = 0.2039 m

10.功和能

答案: x = 37.06 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(3 − 0.2·1) = 137.3 J

最大压缩量

½kx² = 137.3 → x = √(2·137.3/2000) = 0.3706 m = 37.06 cm

答案

x = 37.06 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 18911 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·7/3200 = 4.156 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1900·7² = 46550 J

K_after = ½·3200·4.156² = 27639 J

损失的能量

ΔK = 46550 − 27639 = 18911 J

答案

ΔK = 18911 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v = 27.84 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 10°) = 0.01519 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.01519) = 0.546 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.02·0.546/0.02 = 27.84 m/s

答案

v = 27.84 m/s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.6481 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(140/1.1) = 11.28 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 11.28·√(0.07² − 0.04²) = 0.6481 m/s

答案

v = 0.6481 m/s

14.弹簧与单摆

答案: A = 12.34 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·400/1.512 = 3.175 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1000/1.512) = 25.72 rad/s

振幅

A = V/ω = 3.175/25.72 = 0.1234 m = 12.34 cm

答案

A = 12.34 cm

15.波、声与光学

答案: β = 76.99 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 5·I₁

难度

β = 70 + 10·log₁₀(5) = 76.99 dB

答案

β = 76.99 dB

16.波、声与光学

答案: m_max = 3

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/600 mm = 1.667 µm

最高级次

m ≤ d/λ = 1.667 µm/0.55 µm = 3.03 → m_max = 3

答案

m_max = 3

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