物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1100 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 1100 m

v = m/s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 9 s，然后匀速行驶 14 s，最后以 4 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 9 st₂ = 14 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 40 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 40 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8.5 m/sθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 34 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶部以 16 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 16 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆 1200 kg 的汽车以 11 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 105 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1200 kgv = 11 m/sr = 105 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个半径为 290 m 的弯道倾斜 12°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 290 mθ = 12°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一辆 1500 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 250 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1500 kgθ = 4°F_r = 250 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 2 mL = 3 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 18 m/s 行驶的 500 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 500 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一辆 1600 kg 的汽车撞上一辆停放的 1900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 22.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1600 kgm₂ = 1900 kgd = 22.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 0.8 kg 的物体连在 k = 110 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 17 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 0.8 kgk = 110 N/mA = 17 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的基频（一次谐波）必须为 71 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 1f₁ = 71 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 480 nm 的光照射到相距 0.2 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求从中央亮条纹到第 1 条亮条纹的距离 y₁。

λ = 480 nmd = 0.2 mmL = 3 mm = 1

y₁ = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 81.24 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3·1100) = 81.24 m/s

答案

v = 81.24 m/s

(292.5 km/h)

2.运动学

答案: s = 590.6 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·9 = 27 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·3·9² = 121.5 m

s₂ = 27·14 = 378 m

s₃ = 27²/(2·4) = 91.13 m

总距离

s = 121.5 + 378 + 91.13 = 590.6 m

答案

s = 590.6 m

3.牛顿定律

答案: F = 342.4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 252.2 + 90.18 = 342.4 N

答案

F = 342.4 N

4.牛顿定律

答案: d = 5.47 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.2·cos 30°) = 6.604 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8.5²/(2·6.604) = 5.47 m

答案

d = 5.47 m

5.抛体运动

答案: t = 2.929 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14.37 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·14.37/9.81 = 2.929 s

答案

t = 2.929 s

6.抛体运动

答案: α = 66.6 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 16·cos 20° = 15.04 m/s

v_y0 = 16·sin 20° = 5.472 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(5.472² + 2·9.81·60) = 34.74 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 34.74/15.04 → α = 66.6°

答案

α = 66.6°

7.圆周运动

答案: N = 10389 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1200·9.81 − 1200·11²/105 = 11772 − 1383 = 10389 N

答案

N = 10389 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_max = 39.47 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(290·9.81·0.5014/0.9158) = 39.47 m/s

答案

v_max = 39.47 m/s

(142.1 km/h)

9.功和能

答案: P = 12.76 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 4° = 1026 N

F = 1026 + 250 = 1276 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1276·10 = 12765 W = 12.76 kW

答案

P = 12.76 kW

10.功和能

答案: v = 4.646 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(2 − 0.3·3) = 107.9 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.1) = 4.646 m/s

答案

v = 4.646 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 40500 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·18/1000 = 9 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·500·18² = 81000 J

K_after = ½·1000·9² = 40500 J

损失的能量

ΔK = 81000 − 40500 = 40500 J

答案

ΔK = 40500 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 41.11 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·22.5) = 18.79 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·18.79/1600 = 41.11 m/s

答案

v₁ = 41.11 m/s

(148 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.3007 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.1/2π)² = 0.3007 m

答案

L = 0.3007 m

14.弹簧与单摆

答案: E = 1.59 J

角频率

ω = √(110/0.8) = 11.73 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·110·0.17² = 1.59 J

答案

E = 1.59 J

15.波、声与光学

答案: L = 1.208 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/71 = 4.831 m

长度

L = nλ/4 = 1·4.831/4 = 1.208 m

答案

L = 1.208 m

16.波、声与光学

答案: y₁ = 7.2 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·3/(0.2 × 10⁻³) = 7.2 mm

第 1 条条纹

y₁ = 1·7.2 = 7.2 mm

答案

y₁ = 7.2 mm

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