物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 15 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 3.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3 m/sd = 3.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 16 m/sθ = 30°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.3 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 3.3 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个半径为 290 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 290 mθ = 30°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 12 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 40°μ = 0.15d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 0.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 39 m/s 水平运动的 4 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 81 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 4 kgu = 39 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 81 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 900 kg 的汽车撞上一辆停放的 900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 12 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 900 kgm₂ = 900 kgd = 12 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的 2.1 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.25 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.1 kgk = 80 N/mA = 3 cmt = 1.25 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.2 s，振幅为 5 cm。它从最大位移 5 cm 处运动到位移 2 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.2 sA = 5 cmx = 2 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄会聚透镜前 10 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 10 cmf = 25 cm

m =

16.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.1 mm 的两条缝。在 1 m 外的屏上，第 1 条亮条纹距中央条纹 6.33 mm。求波长 λ。

d = 0.1 mmL = 1 my₁ = 6.33 mmm = 1

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: s = 62.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·5) = 62.5 m

答案

s = 62.5 m

2.运动学

答案: h_max = 31.47 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

离地面的高度

h_max = 20 + 11.47 = 31.47 m

答案

h_max = 31.47 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.148

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·3.1) = 1.452 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.452/9.81 = 0.148

答案

μ = 0.148

4.牛顿定律

答案: T = 22.85 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 3.924)/8.5 = 4.732 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·4.732 + 3.924 = 22.85 N

答案

T = 22.85 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 35.39 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 110°) = 35.39 m/s

答案

v₀ = 35.39 m/s

6.抛体运动

答案: x = 61.06 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 30° = 13.86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 30° = 8 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 8·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8 + √(64 + 1177))/9.81 = 4.407 s

水平距离

x = v_x·t = 13.86·4.407 = 61.06 m

答案

x = 61.06 m

7.圆周运动

答案: n = 26.03 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·3.3)) = 2.726 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 26.03 rpm

答案

n = 26.03 rpm

8.圆周运动

答案: v_max = 47.6 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(290·9.81·0.6299/0.791) = 47.6 m/s

答案

v_max = 47.6 m/s

(171.3 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 13.53 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.766 = 7.515 N

F = μN = 0.15·7.515 = 1.127 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.127·12 = 13.53 J

答案

W_f = 13.53 J

10.功和能

答案: v = 2.594 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·0.5 = 24.53 J

μ·m₁g·d = 0.1·19.62·0.5 = 0.981 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 23.54 → v = √(2·23.54/7) = 2.594 m/s

答案

v = 2.594 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −87 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 4·39 = 156 kg·m/s

碰撞后的动量

156 = 3·81 + 1·v′₂

v′₂ = (156 − 243)/1 = −87 m/s

答案

v′₂ = −87 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 27.45 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·12) = 13.72 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1800·13.72/900 = 27.45 m/s

答案

v₁ = 27.45 m/s

(98.81 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: x = 0.4151 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(80/2.1) = 6.172 rad/s

ω·t = 6.172·1.25 = 7.715 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(7.715) = 0.4151 cm

答案

x = 0.4151 cm

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.2214 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.2 = 5.236 rad/s

求解时间

0.4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.4) = 1.159 rad

t = 1.159/5.236 = 0.2214 s

答案

t = 0.2214 s

15.波、声与光学

答案: m = 1.667

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/10

d_i = −16.67 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−16.67)/10 = 1.667

答案

m = 1.667

16.波、声与光学

答案: λ = 633 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.00633·0.0001/(1·1) = 6.33 × 10⁻⁷ m = 633 nm

答案

λ = 633 nm

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