物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 6 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 120 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 120 Nθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 145 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；8 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 7 kgF = 145 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 45° 的角度抛出，落在 70 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 45°R = 70 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 29 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 24 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 70°h_roof = 24 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 320 m 的弯道倾斜 18°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 320 mθ = 18°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.4 kg 的球系在长 0.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 6 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.4 kgr = 0.5 mv_bottom = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 30 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 30 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 4.5 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 9 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 1 kgh = 9 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 6 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 10 m/sv_out = 6 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 0.8 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 0.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 2.1 kg 的物体连在 k = 300 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.1 kgk = 300 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.65 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 0.65 m

f₁ = Hz

16.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.2 mm 的两条缝。在 1.5 m 外的屏上，第 4 条亮条纹距中央条纹 15.96 mm。求波长 λ。

d = 0.2 mmL = 1.5 my₄ = 15.96 mmm = 4

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: s = 17.54 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·5.5) = 17.54 m

答案

s = 17.54 m

2.运动学

答案: t = 1.792 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·5))/9.81 = 1.792 s

答案

t = 1.792 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.987 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 120·sin 35° = 78.32 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 98.3 − 23.5

a = 74.8/15 = 4.987 m/s²

答案

a = 4.987 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 77.33 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (145 − 36.79)/15 = 7.214 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(7.214 + 2.453) = 77.33 N

答案

T = 77.33 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 26.2 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·70/sin 90°) = 26.2 m/s

答案

v₀ = 26.2 m/s

6.抛体运动

答案: x = 44.22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 9.919 m/s, v_y = 27.25 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

24 = 27.25·t − 4.905·t²

t = (27.25 + √(27.25² − 2·9.81·24))/9.81 = 4.458 s

水平距离

x = v_x·t = 9.919·4.458 = 44.22 m

答案

x = 44.22 m

7.圆周运动

答案: v = 31.94 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(320·9.81·tan 18°) = 31.94 m/s

答案

v = 31.94 m/s

(115 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 32.13 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 6² − 4·9.81·0.5 = 16.38 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.4·16.38/0.5 − 1.4·9.81 = 32.13 N

答案

T_top = 32.13 N

9.功和能

答案: d = 7.079 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 30/3.6 = 8.333 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8.333²/(2·0.5·9.81) = 7.079 m

答案

d = 7.079 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 100.9 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(4.5 − 0.1·3.5) = 407.1 J

最大压缩量

½kx² = 407.1 → x = √(2·407.1/800) = 1.009 m = 100.9 cm

答案

x = 100.9 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 167.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.09) = 1.329 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1)·1.329/0.008 = 167.4 m/s

答案

v = 167.4 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 60 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(6 + 10) = 2.4 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 2.4/0.04 = 60 N

答案

F_avg = 60 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.159 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.8/2π)² = 0.159 m

答案

L = 0.159 m

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.4781 m/s

角频率

ω = √(300/2.1) = 11.95 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.04·11.95 = 0.4781 m/s

答案

v_max = 0.4781 m/s

15.波、声与光学

答案: f₁ = 131.9 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.65/1 = 2.6 m

频率

f = v/λ = 343/2.6 = 131.9 Hz

答案

f₁ = 131.9 Hz

16.波、声与光学

答案: λ = 532 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.01596·0.0002/(4·1.5) = 5.32 × 10⁻⁷ m = 532 nm

答案

λ = 532 nm

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