大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 40 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 28 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 40 mv_0B = 28 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 110 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 35 kgF = 110 Nθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 10 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 10 kgm₂ = 7 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 36 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 25 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 25 m/sθ = 40°h = 55 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 2 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.15d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 5000 N/mx = 20 cmθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 20 m/s 向东行驶的 1000 kg 汽车与一辆以 8 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1000 kgv₁ = 20 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 8 m/s (N)

θ = °

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 850 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p₀ − p = 850 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 300 mm，喉部 150 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 200 mm。流量系数为 0.99。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 200 mmC_d = 0.99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 410 g Ar，温度为 70 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 410 gM = 39.95 g/molV = 5 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的He从 150 kPa、20 L、25 °C 变化到 800 kPa 和 180 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 20 LT₁ = 25 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 180 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 750 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 750 °CT_L = 40 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 28 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -18 °C，以 5 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 28 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 5 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄发散透镜前 8 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 8 cmf = −25 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光垂直照射在每毫米 800 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ₂。

N = 800 mm⁻¹λ = 532 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 90 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

答案

s = 90 m

2.运动学

答案: t = 1.429 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

40 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 40/28 = 1.429 s

答案

t = 1.429 s

3.牛顿定律

答案: a = 0.5726 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 110·sin 35° = 280.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 90.11 − 70.06

a = 20.04/35 = 0.5726 m/s²

答案

a = 0.5726 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 64.09 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 68.67 N

m₁·g·sin θ = 49.05 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.496 N

系统的加速度

a = (68.67 − 49.05 − 8.496)/17 = 0.6544 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 7·(9.81 − 0.6544) = 64.09 N

答案

T = 64.09 N

5.抛体运动

答案: t = 6.652 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 65° = 15.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 65° = 32.63 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·32.63/9.81 = 6.652 s

答案

t = 6.652 s

6.抛体运动

答案: v = 41.28 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 25·cos 40° = 19.15 m/s

v_y0 = 25·sin 40° = 16.07 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(16.07² + 2·9.81·55) = 36.57 m/s

落水速度

v = √(19.15² + 36.57²) = 41.28 m/s

答案

v = 41.28 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.功和能

答案: v = 4.856 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·2·(0.7071 − 0.15·0.7071)) = 4.856 m/s

答案

v = 4.856 m/s

8.功和能

答案: d = 4.676 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·5000·0.2² = 100 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 100/(49.05·(0.342 + 0.1·0.9397)) = 4.676 m

答案

d = 4.676 m

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 1.111 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 4)/(0.5 + 4)·5 = −3.889 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 4)·5 = 1.111 m/s

答案

v′₂ = 1.111 m/s

10.动量与碰撞

答案: θ = 21.8 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1000·20 = 20000 kg·m/s

p_y = 1000·8 = 8000 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.4 → θ = 21.8°

答案

θ = 21.8°

11.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·4.5 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.714 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.5·4.5 = 136 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 3.375/(3.5·4.5) = 3.714 m

答案

y_cp = 3.714 m

13.连续性和伯努利

答案: v = 37.64 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·850/1.2) = 37.64 m/s

答案

v = 37.64 m/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 127 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.2 = 24721 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 150/300 = 0.5

v₂ = √(2·24721/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.262 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.99·0.01767·7.262 = 0.127 m³/s = 127 L/s

答案

Q = 127 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 5856 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 410/39.95 = 10.26 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

压强

P = nRT/V = 10.26·8.314·343.1/0.005 = 5856 kPa

答案

P = 5856 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 5.7 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 453.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(150/800)·(453.1/298.1) = 5.7 L

答案

V₂ = 5.7 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 69.39 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/1023 = 69.39 %

答案

η_max = 69.39 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 5.547

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(301.1 − 255.1) = 5.547

答案

COP_max = 5.547

19.波、声与光学

答案: d_i = −6.061 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/8

d_i = −6.061 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −6.061 cm

20.波、声与光学

答案: θ₂ = 58.34 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·532 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.8512

θ = 58.34°

答案

θ₂ = 58.34°

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