大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)4 s20

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
v₀ = 20 m/s30 m

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 20 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 20 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
1.5 kg1 kg

质量为 1.5 kg 和 1 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。 求物体的加速度 a。

m1 = 1.5 kgm2 = 1 kgg = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 9.5 kg1.5 kgμ = 0.1

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 9.5 kgm2 = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 18 m/s70°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 18 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 40 mv0​ = 32 m/s55°x = ?

一个球 从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 32 m/sθ = 55°h = 40 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
30°d = 12 mμ = 0.15

一个 5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 12 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.15d = 12 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
8.功和能困难
h = 2.5 mL = 2 mμ = 0.15k = 2000 N/m

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2.5 mL = 2 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
9.动量与碰撞中等
1.5 kgv = ?5 gh = 24 cm

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 24 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 1.5 kgh = 24 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.动量与碰撞困难
10 m/s16 m/s

一个 0.6 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.6 kgvin = 10 m/svout = 16 m/sΔt = 10 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 1 mH = 2 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 1.5 mH = 1 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12p1​ − p2​ = 32 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 100 mm，喉部直径 60 mm。入口处的压强比喉部高 32 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 32 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 200 mm, p1​ = 190 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 3 m

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 50 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 190 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 200 mmd2 = 50 mmp1 = 190 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
310 g N₂V = 10 LT = 10 °CP = ?

容积为 10 L 的容器中装有 310 g N₂，温度为 10 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 310 gM = 28.01 g/molV = 10 LT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
CO₂, M = 44.01 g/molP = 150 kPaT = 30 °Cρ = ?

按理想气体处理，求CO₂在 150 kPa 和 30 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 150 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 28 °CTL​ = -5 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 4.5 kWẆ

一台可逆制冷机通过排出 4.5 kW 的热量使冷库保持在 -5 °C，并向 28 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇H。

TL = -5 °CTH = 28 °CQ̇L = 4.5 kW
Q̇H = kW
18.热机和制冷机困难
TH​ = 32 °CTL​ = -18 °CRQ̇H​Q̇L​ = 1.5 kWẆ = ?

一台冰箱在 32 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -18 °C，以 1.5 kW 从冷藏室移走热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 32 °CTL = -18 °CQ̇L = 1.5 kW
Ẇmin = kW
19.波、声与光学中等
θc = ?90°金刚石, n1​ = 2.42亚克力, n2​ = 1.49

光在金刚石（n = 2.42）中向与亚克力（n = 1.49）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θc。

n1 = 2.42n2 = 1.49
θc = °
20.波、声与光学困难
Fdo​ = 4 cmR = 20 cm

一个物体位于曲率半径为 20 cm 的凹面镜前 4 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

do = 4 cmR = 20 cm
m =

3溶液

1.运动学

答案: s = 40 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·5) = 40 m

答案

s = 40 m
2.运动学

答案: t = 5.244 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 20·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 20·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (20 + √(20² + 2·9.81·30))/9.81 = 5.244 s

答案

t = 5.244 s
3.牛顿定律

答案: a = 1.962 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (1.5 − 1)·9.81/(1.5 + 1) = 1.962 m/s²

答案

a = 1.962 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 0.4905 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (14.71 − 9.32)/11 = 0.4905 m/s²

答案

a = 0.4905 m/s²
5.抛体运动

答案: H = 14.58 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 18·cos 70° = 6.156 m/s
vy = v0·sin θ = 18·sin 70° = 16.91 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 16.91²/(2·9.81) = 14.58 m

答案

H = 14.58 m
6.抛体运动

答案: x = 120.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 32·cos 55° = 18.35 m/s
vy = v0·sin θ = 32·sin 55° = 26.21 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 26.21·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (26.21 + √(687.1 + 784.8))/9.81 = 6.583 s

水平距离

x = vx·t = 18.35·6.583 = 120.8 m

答案

x = 120.8 m
7.功和能

答案: Wf = 76.46 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.866 = 42.48 N
F = μN = 0.15·42.48 = 6.372 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 6.372·12 = 76.46 J

答案

Wf = 76.46 J
8.功和能

答案: x = 29.38 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.15·2) = 86.33 J

最大压缩量

½kx² = 86.33 → x = √(2·86.33/2000) = 0.2938 m = 29.38 cm

答案

x = 29.38 cm
9.动量与碰撞

答案: v = 653.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.24) = 2.17 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 1.5)·2.17/0.005 = 653.2 m/s

答案

v = 653.2 m/s
10.动量与碰撞

答案: Favg = 1560 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(16 + 10) = 15.6 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 15.6/0.01 = 1560 N

答案

Favg = 1560 N
11.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
闸门d = 1 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN
12.静水压力

答案: F = 39.24 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
闸门d = 1.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN

答案

F = 39.24 kN
13.连续性和伯努利

答案: Q = 24.25 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(60/100)² = 0.36·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·32000/(1000·(1 − 0.1296))) = 8.575 m/s
v1 = 3.087 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.002827·8.575 = 0.02425 m³/s = 24.25 L/s

答案

Q = 24.25 L/s
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 128.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(200/50)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 8²)/1000 = −31.88 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 190 + (−31.88) − 29.43 = 128.7 kPa

答案

p2 = 128.7 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 2605 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 310/28.01 = 11.07 mol
T = 10 + 273.15 = 283.1 K

压强

P = nRT/V = 11.07·8.314·283.1/0.01 = 2605 kPa

答案

P = 2605 kPa
16.理想气体定律

答案: ρ = 2.619 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 30 + 273.15 = 303.1 K

密度

ρ = 150·44.01/(8.314·303.1) = 2.619 kg/m³

答案

ρ = 2.619 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: Q̇H = 5.054 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 28 + 273.15 = 301.1 K
TL = -5 + 273.15 = 268.1 K

可逆循环的热量比

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 4.5·301.1/268.1 = 5.054 kW

答案

Q̇H = 5.054 kW

输入功率：Ẇ = 0.5538 kW。

18.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.2939 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 32 + 273.15 = 305.1 K
TL = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能的最佳 COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 255.1/(305.1 − 255.1) = 5.103

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇L/COP = 1.5/5.103 = 0.2939 kW

答案

Ẇmin = 0.2939 kW
19.波、声与光学

答案: θc = 38 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.49/2.42 = 0.6157

临界角

θc = arcsin(0.6157) = 38°

答案

θc = 38°
20.波、声与光学

答案: m = 1.667

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 10 cm

镜面方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/10 − 1/4
di = −6.667 cm
F4 cmf = 10 cm

放大率

m = −(−6.667)/4 = 1.667

答案

m = 1.667

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