大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 1.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1200 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 1.75 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 36 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 36 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 5.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5.5 m/sd = 5.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 2.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4.5 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 14 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 37 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 21 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 37 m/sθ = 55°h_roof = 21 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 40 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 40 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 2.5 mL = 3 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 26 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.55 kgv_in = 26 m/sv_out = 14 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 80 mm，喉部直径 40 mm。入口处的压强比喉部高 23 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₁ − p₂ = 23 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一根内径 32 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 0.5 m，出口（通大气）低于水面 4 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 32 mmz_C = +0.5 mz₂ = −4 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

230 g He在 100 kPa 和 70 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 230 gM = 4.003 g/molP = 100 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 400 kPa、2 L、15 °C 变化到 650 kPa 和 210 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 400 kPaV₁ = 2 LT₁ = 15 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 425 °C 的高温热源和 20 °C 的低温热源之间工作。它吸收 1700 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 425 °CT_L = 20 °CQ_H = 1700 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 28 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -20 °C，以 3 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 28 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 3 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

观察者以 15 m/s 的速度朝频率为 300 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 50 cm：透镜 1 的 f₁ = 20 cm，透镜 2 的 f₂ = 10 cm。一个物体位于透镜 1 前 50 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 20 cmf₂ = 10 cms = 50 cmd_o = 50 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: v = 64.81 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·1.75·1200) = 64.81 m/s

答案

v = 64.81 m/s

(233.3 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 84.06 m

动力阶段

v₁ = 36·1 = 36 m/s

h₁ = ½·36·1² = 18 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 36²/(2·9.81) = 66.06 m

h_max = 18 + 66.06 = 84.06 m

答案

h_max = 84.06 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3023

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·5.1) = 2.966 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.966/9.81 = 0.3023

答案

μ = 0.3023

4.牛顿定律

答案: T = 21.16 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 8.388 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (44.15 − 8.388 − 0)/7 = 5.108 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4.5·(9.81 − 5.108) = 21.16 N

答案

T = 21.16 N

5.抛体运动

答案: t = 2.018 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9.899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9.899 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·9.899/9.81 = 2.018 s

答案

t = 2.018 s

6.抛体运动

答案: x = 114.3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 21.22 m/s, v_y = 30.31 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

21 = 30.31·t − 4.905·t²

t = (30.31 + √(30.31² − 2·9.81·21))/9.81 = 5.384 s

水平距离

x = v_x·t = 21.22·5.384 = 114.3 m

答案

x = 114.3 m

7.功和能

答案: d = 12.58 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.5·9.81) = 12.58 m

答案

d = 12.58 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: x = 37.93 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.1·3) = 107.9 J

最大压缩量

½kx² = 107.9 → x = √(2·107.9/1500) = 0.3793 m = 37.93 cm

答案

x = 37.93 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.2222 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·2 = 0.2222 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·2 = 2.222 m/s

答案

v′₁ = 0.2222 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 2200 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(14 + 26) = 22 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 22/0.01 = 2200 N

答案

F_avg = 2200 N

11.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

12.静水压力

答案: F = 74.16 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.5·4 = 74.16 kN

答案

F = 74.16 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 8.802 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(40/80)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·23000/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.005 m/s

v₁ = 1.751 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.001257·7.005 = 0.008802 m³/s = 8.802 L/s

答案

Q = 8.802 L/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 7.125 L/s

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·4) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

流量

Q = A·v = 0.0008042·8.859 = 0.007125 m³/s = 7.125 L/s

答案

Q = 7.125 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 1639 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 230/4.003 = 57.46 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

体积

V = nRT/P = 57.46·8.314·343.1/100 = 1639 L

答案

V = 1639 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 2.064 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 483.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(400/650)·(483.1/288.1) = 2.064 L

答案

V₂ = 2.064 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 986.2 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 425 + 273.15 = 698.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/698.1 = 58.01 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.5801·1700 = 986.2 kJ

答案

W_max = 986.2 kJ

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.5688 kW

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253.1/(301.1 − 253.1) = 5.274

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3/5.274 = 0.5688 kW

答案

Ẇ_min = 0.5688 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 313.1 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 300·(343 + 15)/(343 − 0)

f′ = 313.1 Hz

答案

f′ = 313.1 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i2 = 25 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/20 − 1/50 → d_i1 = 33.33 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 50 − 33.33 = 16.67 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/10 − 1/16.67 → d_i2 = 25 cm

答案

d_i2 = 25 cm

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