大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 16 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 14 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 14 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 22 m/s 抛出，必须落在 20 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 22 m/sR = 20 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一辆 1200 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 400 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1200 kgθ = 4°F_r = 400 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 2 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 2 kgk = 3000 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

9.动量与碰撞中等

一个以 11 m/s 水平运动的 13 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。12 kg 的碎片以 44 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 13 kgu = 11 m/sm₁ = 12 kgv′₁ = 44 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgv_in = 11 m/sv_out = 8 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 160 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 160 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 140 kPa。水从水面以下 2 m 处直径 50 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 140 kPa (表压)h = 2 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

240 g N₂在 200 kPa 和 40 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 240 gM = 28.01 g/molP = 200 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的CO₂从 250 kPa、10 L、40 °C 变化到 450 kPa 和 170 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 170 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 600 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 600 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 5 °C，以 2 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 35 °CT_L = 5 °CQ̇_L = 2 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个高 3 cm 的物体位于焦距为 10 cm 的薄发散透镜前 12 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 3 cmd_o = 12 cmf = −10 cm

h_i = cm

20.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 10 m/s 的速度靠近的汽车发射 30 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 48.08 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·6.5) = 48.08 m

答案

s = 48.08 m

2.运动学

答案: h_max = 33.05 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9.81) = 13.05 m

离地面的高度

h_max = 20 + 13.05 = 33.05 m

答案

h_max = 33.05 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.368 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答案

a = 2.368 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 27.33 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 22.07)/10.5 = 0.7007 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7.5·0.7007 + 22.07 = 27.33 N

答案

T = 27.33 N

5.抛体运动

答案: θ = 11.96 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·20/22² = 0.4054

相角

2θ = 23.91° → θ = 11.96°

答案

θ = 11.96°

另一个解为 90° − θ = 78.04°。

6.抛体运动

答案: H = 48.45 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 28·sin 50° = 21.45 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 21.45²/(2·9.81) = 23.45 m

离地面的高度

H = 25 + 23.45 = 48.45 m

答案

H = 48.45 m

7.功和能

答案: P = 24.42 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 4° = 821.2 N

F = 821.2 + 400 = 1221 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1221·20 = 24423 W = 24.42 kW

答案

P = 24.42 kW

8.功和能

答案: d = 2.401 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·3000·0.15² = 33.75 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 33.75/(19.62·(0.5 + 0.25·0.866)) = 2.401 m

答案

d = 2.401 m

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −385 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 13·11 = 143 kg·m/s

碰撞后的动量

143 = 12·44 + 1·v′₂

v′₂ = (143 − 528)/1 = −385 m/s

答案

v′₂ = −385 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: J = 1.9 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(8 + 11) = 1.9 N·s

答案

J = 1.9 N·s

11.静水压力

答案: F = 67.44 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.5 = 67.44 kN

答案

F = 67.44 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.818 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.75·3 = 102 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 0.5625/(2.75·3) = 2.818 m

答案

y_cp = 2.818 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 154.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/40)² = 3.516 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 3.516²)/1000 = −5.68 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−5.68) = 154.3 kPa

答案

p₂ = 154.3 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 35.08 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(140000/1000 + 9.81·2)) = 17.87 m/s

流量

Q = A·v = 0.001963·17.87 = 0.03508 m³/s = 35.08 L/s

答案

Q = 35.08 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 111.5 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 240/28.01 = 8.568 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

体积

V = nRT/P = 8.568·8.314·313.1/200 = 111.5 L

答案

V = 111.5 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 7.862 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 443.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/450)·(443.1/313.1) = 7.862 L

答案

V₂ = 7.862 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 67 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/873.1 = 67 %

答案

η_max = 67 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 9.272

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 278.1/(308.1 − 278.1) = 9.272

答案

COP_max = 9.272

19.波、声与光学

答案: h_i = 1.364 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/12

d_i = −5.455 cm

放大率与像高

m = −(−5.455)/12 = 0.4545

h_i = 0.4545·3 = 1.364 cm

答案

h_i = 1.364 cm

20.波、声与光学

答案: f″ = 31802 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 30000·(343 + 10)/343 = 30875 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 10) = 31802 Hz

答案

f″ = 31802 Hz

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