大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 4 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 800 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 800 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 5.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5 m/sd = 5.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 5.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 4 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 10 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 32 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 5 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 70°h_roof = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 120 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 120 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 2.5 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1300 kg 的汽车撞上一辆停放的 1400 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 12.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1300 kgm₂ = 1400 kgd = 12.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 270 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 220 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 220 kPav₁ = 1 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

80 g CH₄在 750 kPa 和 85 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 80 gM = 16.04 g/molP = 750 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 150 kPa、10 L、30 °C 变化到 750 kPa 和 50 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 30 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 50 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 625 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。它吸收 3100 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 625 °CT_L = 15 °CQ_H = 3100 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 30 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -20 °C，以 3 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 30 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 3 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 60 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 60 cmf = 8 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光垂直照射在每毫米 100 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ₃。

N = 100 mm⁻¹λ = 633 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: v = 80 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·4·800) = 80 m/s

答案

v = 80 m/s

(288 km/h)

2.运动学

答案: t = 3.684 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.684 s

答案

t = 3.684 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2498

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 5²/(2·5.1) = 2.451 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.451/9.81 = 0.2498

答案

μ = 0.2498

4.牛顿定律

答案: a = 1.73 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 39.24 N

m₁·g·sin θ = 22.8 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (39.24 − 22.8 − 0)/9.5 = 1.73 m/s²

答案

a = 1.73 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 9.579 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5.736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8.192 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.192/9.81 = 1.67 s

水平距离

x = v_x·t = 5.736·1.67 = 9.579 m

答案

x = 9.579 m

6.抛体运动

答案: x = 65.22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 10.94 m/s, v_y = 30.07 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

5 = 30.07·t − 4.905·t²

t = (30.07 + √(30.07² − 2·9.81·5))/9.81 = 5.959 s

水平距离

x = v_x·t = 10.94·5.959 = 65.22 m

答案

x = 65.22 m

7.功和能

答案: d = 113.3 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.5·9.81) = 113.3 m

答案

d = 113.3 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: v = 8.996 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.15·2.5) = 101.2 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.125) = 8.996 m/s

答案

v = 8.996 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.714 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 2.5)/(4.5 + 2.5)·6 = 1.714 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 2.5)·6 = 7.714 m/s

答案

v′₁ = 1.714 m/s

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 23 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·12.5) = 11.07 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·11.07/1300 = 23 m/s

答案

v₁ = 23 m/s

(82.8 km/h)

11.静水压力

答案: F = 82.77 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·2.25 = 82.77 kN

答案

F = 82.77 kN

12.静水压力

答案: F = 245.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.25·7.5 = 245.1 kN

答案

F = 245.1 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 257.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−12.7) = 257.3 kPa

答案

p₂ = 257.3 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 165.3 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/40)² = 3.516 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 3.516²)/1000 = −5.68 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−5.68) − 49.05 = 165.3 kPa

答案

p₂ = 165.3 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 19.8 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 80/16.04 = 4.988 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体积

V = nRT/P = 4.988·8.314·358.1/750 = 19.8 L

答案

V = 19.8 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 2.132 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 323.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/750)·(323.1/303.1) = 2.132 L

答案

V₂ = 2.132 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 2105 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 625 + 273.15 = 898.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/898.1 = 67.92 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6792·3100 = 2105 kJ

答案

W_max = 2105 kJ

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 5.063

绝对温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253.1/(303.1 − 253.1) = 5.063

答案

COP_max = 5.063

19.波、声与光学

答案: d_i = 9.231 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/60

d_i = 9.231 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 9.231 cm

20.波、声与光学

答案: θ₃ = 10.95 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·633 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.1899

θ = 10.95°

答案

θ₃ = 10.95°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers