大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 8 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 6 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 37 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 6 m/sd = 37 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 7.5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 7.5 m/sθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 30 m/s 抛出，必须落在 55 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 30 m/sR = 55 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 5° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 600 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 5°F_r = 600 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 10 kg 的物块从 15° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 65 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 2 m 后的速度 v。

m = 10 kgF = 65 Nθ = 15°μ = 0.15d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1400 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 10 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1900 kgm₂ = 1400 kgd = 10 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 100 mm，喉部直径 50 mm。入口处的压强比喉部高 13 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 13 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 10 m。截面 1 处压强为 380 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 380 kPav₁ = 3 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 160 g CO₂，温度为 55 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 160 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的Ar从 200 kPa、10 L、25 °C 变化到 300 kPa 和 100 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 200 kPaV₁ = 10 LT₁ = 25 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 100 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 5 kW 的热量使冷库保持在 -5 °C，并向 28 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = -5 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 5 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 400 °C 的热源吸收 3400 kJ 热量，产生 1122 kJ 的功，其余热量排向 35 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 400 °CT_L = 35 °CQ_H = 3400 kJW = 1122 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 65 dB 的声级。当 5 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 65 dBn = 5

β = dB

20.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.46，包层 n₂ = 1.38。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.46n₂ = 1.38

NA =

3溶液

1.运动学

答案: s = 79.37 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·7) = 79.37 m

答案

s = 79.37 m

2.运动学

答案: t = 3.216 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·25))/9.81 = 3.216 s

答案

t = 3.216 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.04959

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 6²/(2·37) = 0.4865 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4865/9.81 = 0.04959

答案

μ = 0.04959

4.牛顿定律

答案: d = 5.226 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.3·cos 15°) = 5.382 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 7.5²/(2·5.382) = 5.226 m

答案

d = 5.226 m

5.抛体运动

答案: θ = 18.42 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·55/30² = 0.5995

相角

2θ = 36.83° → θ = 18.42°

答案

θ = 18.42°

另一个解为 90° − θ = 71.58°。

6.抛体运动

答案: x = 121.6 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 40° = 22.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 40° = 18.64 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 18.64·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.64 + √(347.5 + 882.9))/9.81 = 5.476 s

水平距离

x = v_x·t = 22.22·5.476 = 121.6 m

答案

x = 121.6 m

7.功和能

答案: P = 23.1 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 5° = 1710 N

F = 1710 + 600 = 2310 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 2310·10 = 23100 W = 23.1 kW

答案

P = 23.1 kW

8.功和能

答案: v = 3.187 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 25.39 N

μ·mg·cos θ = 14.21 N

功–能关系

½mv² = (65 − 39.6)·2 = 50.79 J

v = √(2·50.79/10) = 3.187 m/s

答案

v = 3.187 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.1818 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 3)/(2.5 + 3)·2 = −0.1818 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 3)·2 = 1.818 m/s

答案

v′₁ = −0.1818 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 18.84 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·10) = 10.85 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3300·10.85/1900 = 18.84 m/s

答案

v₁ = 18.84 m/s

(67.84 km/h)

11.静水压力

答案: F = 137.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·4 = 137.3 kN

答案

F = 137.3 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.939 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.75·2.5 = 69.13 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 1.302/(2.75·2.5) = 2.939 m

答案

y_cp = 2.939 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 10.34 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(50/100)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·13000/(1000·(1 − 0.0625))) = 5.266 m/s

v₁ = 1.317 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.001963·5.266 = 0.01034 m³/s = 10.34 L/s

答案

Q = 10.34 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 214.4 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(100/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 380 + (−67.5) − 98.1 = 214.4 kPa

答案

p₂ = 214.4 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 198.4 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 160/44.01 = 3.636 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

压强

P = nRT/V = 3.636·8.314·328.1/0.05 = 198.4 kPa

答案

P = 198.4 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 8.344 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 373.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(200/300)·(373.1/298.1) = 8.344 L

答案

V₂ = 8.344 L

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 5.615 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 5·301.1/268.1 = 5.615 kW

答案

Q̇_H = 5.615 kW

输入功率：Ẇ = 0.6153 kW。

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 2.342 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 3400 − 1122 = 2278 kJ

绝对温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −3400/673.1 = −5.051 kJ/K

ΔS_L = 2278/308.1 = 7.393 kJ/K

S_gen = 7.393 − 5.051 = 2.342 kJ/K

答案

S_gen = 2.342 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: β = 71.99 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 5·I₁

难度

β = 65 + 10·log₁₀(5) = 71.99 dB

答案

β = 71.99 dB

20.波、声与光学

答案: NA = 0.4767

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.38/1.46 = 0.9452 → θc = 70.94°

数值孔径

NA = √(1.46² − 1.38²) = 0.4767

答案

NA = 0.4767

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