大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 19 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5 m/sθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 32 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 24 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 4 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 35°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 0.5 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 60°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 1.5 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 3 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 37 m/s 水平运动的 9 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。7 kg 的碎片以 91 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 9 kgu = 37 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 91 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 0.8 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4 kgL = 0.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 80 mm，喉部直径 40 mm。入口处的压强比喉部高 9 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₁ − p₂ = 9 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 10 m。截面 1 处压强为 280 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 280 kPav₁ = 2 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

360 g He在 400 kPa 和 80 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 360 gM = 4.003 g/molP = 400 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 150 kPa 和 40 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 150 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 700 °C 的高温热源和 25 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 700 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 32 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -10 °C，以 1.5 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 32 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 1.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.65 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 0.65 m

f₁ = Hz

20.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.62，包层 n₂ = 1.52。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θ_a。

n₁ = 1.62n₂ = 1.52n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.061 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/5.5 = 6.061 s

答案

t = 6.061 s

2.运动学

答案: t = 4.343 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·10))/9.81 = 4.343 s

答案

t = 4.343 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.781 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

答案

a = 2.781 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 2.404 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.2·cos 20°) = 5.199 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·5.199) = 2.404 m

答案

d = 2.404 m

5.抛体运动

答案: H = 30.63 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 50° = 20.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 50° = 24.51 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 24.51²/(2·9.81) = 30.63 m

答案

H = 30.63 m

6.抛体运动

答案: x = 48.7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 19.66 m/s, v_y = 13.77 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

4 = 13.77·t − 4.905·t²

t = (13.77 + √(13.77² − 2·9.81·4))/9.81 = 2.477 s

水平距离

x = v_x·t = 19.66·2.477 = 48.7 m

答案

x = 48.7 m

7.功和能

答案: T = 9.81 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 60°) = 14.71 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·14.71/1.5 = 9.81 N

答案

T = 9.81 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 9.81 N。

8.功和能

答案: v = 4.023 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·1.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.2·29.43·1.5 = 8.829 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 64.75 → v = √(2·64.75/8) = 4.023 m/s

答案

v = 4.023 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −152 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 9·37 = 333 kg·m/s

碰撞后的动量

333 = 7·91 + 2·v′₂

v′₂ = (333 − 637)/2 = −152 m/s

答案

v′₂ = −152 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: v = 390.1 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.8·(1 − cos 20°) = 0.04825 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.04825) = 0.9729 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.01·0.9729/0.01 = 390.1 m/s

答案

v = 390.1 m/s

11.静水压力

答案: F = 73.58 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

答案

F = 73.58 kN

12.静水压力

答案: F = 55.62 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3·1.5 = 55.62 kN

答案

F = 55.62 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 5.506 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(40/80)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·9000/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.382 m/s

v₁ = 1.095 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.001257·4.382 = 0.005506 m³/s = 5.506 L/s

答案

Q = 5.506 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 173.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−8.125) − 98.1 = 173.8 kPa

答案

p₂ = 173.8 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 660.1 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 360/4.003 = 89.93 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

体积

V = nRT/P = 89.93·8.314·353.1/400 = 660.1 L

答案

V = 660.1 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.9241 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

密度

ρ = 150·16.04/(8.314·313.1) = 0.9241 kg/m³

答案

ρ = 0.9241 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 69.36 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/973.1 = 69.36 %

答案

η_max = 69.36 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.2394 kW

绝对温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(305.1 − 263.1) = 6.265

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1.5/6.265 = 0.2394 kW

答案

Ẇ_min = 0.2394 kW

19.波、声与光学

答案: f₁ = 263.8 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.65/1 = 1.3 m

频率

f = v/λ = 343/1.3 = 263.8 Hz

答案

f₁ = 263.8 Hz

20.波、声与光学

答案: θ_a = 34.08 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.52/1.62 = 0.9383 → θc = 69.76°

数值孔径

NA = √(1.62² − 1.52²) = 0.5604

接收角

θ_a = arcsin(0.5604) = 34.08°

答案

θ_a = 34.08°

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