大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 7 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 8.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 18 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 8.5 m/sd = 18 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s、与水平方向成 60° 的角度朝 41 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 34 m/sθ = 60°x = 41 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 14 m/sθ = 45°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆 800 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 8° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 500 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 800 kgθ = 8°F_r = 500 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 4.5 mL = 5 mμ = 0.1k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 20 m/s 行驶的 1800 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1800 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.5 kgv_in = 28 m/sv_out = 11 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 390 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 390 kPav₁ = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 6 m。截面 1 处压强为 200 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

460 g CO₂在 200 kPa 和 20 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 460 gM = 44.01 g/molP = 200 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求N₂在 550 kPa 和 160 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 550 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 675 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。它吸收 4700 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 675 °CT_L = 15 °CQ_H = 4700 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 450 °C 的热源吸收 110 kW 热量，并向 25 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -5 °C 的冷冻室排出热量，也向 25 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 450 °CT₀ = 25 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 110 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

频率为 400 Hz、速度为 30 m/s 的声源与速度为 10 m/s 的观察者相向运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光通过一条宽 0.1 mm 的单缝。求 1 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 600 nma = 0.1 mmL = 1 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 4 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/7.5 = 4 s

答案

t = 4 s

2.运动学

答案: h_max = 37.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9.81) = 2.497 m

离地面的高度

h_max = 35 + 2.497 = 37.5 m

答案

h_max = 37.5 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2046

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 8.5²/(2·18) = 2.007 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.007/9.81 = 0.2046

答案

μ = 0.2046

4.牛顿定律

答案: a = 4.578 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 7.848)/9 = 4.578 m/s²

答案

a = 4.578 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 42.48 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 34·cos 60° = 17 m/s

t = x/v_x = 41/17 = 2.412 s

此时的高度

y = 29.44·2.412 − ½·9.81·2.412² = 42.48 m

答案

y = 42.48 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 41.59 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9.899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9.899 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 9.899·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.899 + √(98 + 882.9))/9.81 = 4.202 s

水平距离

x = v_x·t = 9.899·4.202 = 41.59 m

答案

x = 41.59 m

7.功和能

答案: P = 31.84 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 8° = 1092 N

F = 1092 + 500 = 1592 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1592·20 = 31845 W = 31.84 kW

答案

P = 31.84 kW

8.功和能

答案: v = 8.859 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(4.5 − 0.1·5) = 19.62 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

答案

v = 8.859 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 33.33 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1800·20/2700 = 13.33 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1800·20² = 360000 J

K_after = ½·2700·13.33² = 240000 J

损失的比例

ΔK/K = 120000/360000 = 33.33 %

答案

ΔK/K = 33.33 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 487.5 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(11 + 28) = 19.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 19.5/0.04 = 487.5 N

答案

F_avg = 487.5 N

11.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.556 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.5·2 = 37.08 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.1667/(1.5·2) = 1.556 m

答案

y_cp = 1.556 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 333.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(100/50)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 11²)/1000 = −56.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−56.72) = 333.3 kPa

答案

p₂ = 333.3 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 134.9 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(75/50)² = 3.938 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 3.938²)/1000 = −6.221 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−6.221) − 58.86 = 134.9 kPa

答案

p₂ = 134.9 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 127.4 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 460/44.01 = 10.45 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

体积

V = nRT/P = 10.45·8.314·293.1/200 = 127.4 L

答案

V = 127.4 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 4.278 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273.15 = 433.1 K

密度

ρ = 550·28.01/(8.314·433.1) = 4.278 kg/m³

答案

ρ = 4.278 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 3272 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 675 + 273.15 = 948.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/948.1 = 69.61 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6961·4700 = 3272 kJ

答案

W_max = 3272 kJ

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 577.8 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T₀ = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

热机的功

η = 1 − 298.1/723.1 = 0.5877

Ẇ = 0.5877·110 = 64.65 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 268.1/(298.1 − 268.1) = 8.938

Q̇_L = 8.938·64.65 = 577.8 kW

答案

Q̇_L = 577.8 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 451.1 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 400·(343 + 10)/(343 − 30)

f′ = 451.1 Hz

答案

f′ = 451.1 Hz

20.波、声与光学

答案: w = 12 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·1/(0.1 × 10⁻³) = 6 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 12 mm

答案

w = 12 mm

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