大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 6.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 11 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 6.5 m/sd = 11 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 4 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 50 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 50 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 5 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 4 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 4 kgh = 4 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 21 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 21 m/sv_out = 18 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 25 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 4 m，流量系数为 0.61。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 25 mmh = 4 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 9 m。截面 1 处压强为 240 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 240 kPav₁ = 1 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

410 g Ar在 200 kPa 和 0 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 410 gM = 39.95 g/molP = 200 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 1000 kPa 和 130 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 1000 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 700 °C 的热源吸热，向 20 °C 的环境放热。其实际热效率为 35%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 700 °CT_L = 20 °Cη = 35%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 10 °C 的热源吸热，向 22 °C 的供暖系统提供 17.5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 45%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 22 °CT_L = 10 °Cη_II = 45%Q̇_H = 17.5 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

光在金刚石（n = 2.42）中向与甘油（n = 1.47）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 2.42n₂ = 1.47

θ_c = °

20.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光垂直照射在每毫米 300 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ₃。

N = 300 mm⁻¹λ = 450 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 100 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·4.5) = 100 m

答案

s = 100 m

2.运动学

答案: t = 3.361 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·5))/9.81 = 3.361 s

答案

t = 3.361 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1958

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 6.5²/(2·11) = 1.92 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.92/9.81 = 0.1958

答案

μ = 0.1958

4.牛顿定律

答案: T = 31.21 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 17.17)/11 = 2.007 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7·2.007 + 17.17 = 31.21 N

答案

T = 31.21 N

5.抛体运动

答案: H = 13.15 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 35° = 22.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 35° = 16.06 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 16.06²/(2·9.81) = 13.15 m

答案

H = 13.15 m

6.抛体运动

答案: H = 14.99 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 28·sin 30° = 14 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

离地面的高度

H = 5 + 9.99 = 14.99 m

答案

H = 14.99 m

7.功和能

答案: d = 24.58 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13.89²/(2·0.4·9.81) = 24.58 m

答案

d = 24.58 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: x = 91.32 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.3·2.5) = 208.5 J

最大压缩量

½kx² = 208.5 → x = √(2·208.5/500) = 0.9132 m = 91.32 cm

答案

x = 91.32 cm

9.动量与碰撞

答案: v = 709.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.04) = 0.8859 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 4)·0.8859/0.005 = 709.6 m/s

答案

v = 709.6 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 1560 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(18 + 21) = 15.6 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 15.6/0.01 = 1560 N

答案

F_avg = 1560 N

11.静水压力

答案: F = 119.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3.75 = 119.6 kN

答案

F = 119.6 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.556 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.25/(1.5·3) = 1.556 m

答案

y_cp = 1.556 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 2.653 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.0004909·8.859 = 0.002653 m³/s = 2.653 L/s

答案

Q = 2.653 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 146 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/40)² = 3.516 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 3.516²)/1000 = −5.68 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−5.68) − 88.29 = 146 kPa

答案

p₂ = 146 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 116.5 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 410/39.95 = 10.26 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

体积

V = nRT/P = 10.26·8.314·273.1/200 = 116.5 L

答案

V = 116.5 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 1.194 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 1000·4.003/(8.314·403.1) = 1.194 kg/m³

答案

ρ = 1.194 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 50.09 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 293.1/973.1 = 69.88 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 35/69.88 = 50.09 %

答案

η_II = 50.09 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 1.581 kW

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 283.1) = 24.6

COP = 0.45·24.6 = 11.07

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 17.5/11.07 = 1.581 kW

答案

Ẇ = 1.581 kW

19.波、声与光学

答案: θ_c = 37.4 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.47/2.42 = 0.6074

临界角

θc = arcsin(0.6074) = 37.4°

答案

θ_c = 37.4°

20.波、声与光学

答案: θ₃ = 23.89 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·450 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.405

θ = 23.89°

答案

θ₃ = 23.89°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers